Question

Решить уравнение log_5^2(x)+log_5(x)=2.Написать сумму корней

Answer 1

Log_5^2(x)+log_5(x)=2   замена  log_5(x)=а 
а²+а-2=0
D=1+8=9
a₁=(-1+3)/2=1     log_5(x)=1     x₁=5¹=5
a₂=(-1-3)/2=-2     log_5(x)=-2   x₂=5⁻²=1/25 =0,04

Answer 2

Начнем с использования свойства логарифмов, согласно которому для любых положительных чисел a, b и c, верно:

log_a(bc) = log_a(b) + log_a(c)

Применим это свойство к первому логарифму уравнения:

log_5^2(x) = 2*log_5(x)

Заменим этот логарифм в исходном уравнении:

2*log_5(x) + log_5(x) = 2

Упростим:

3*log_5(x) = 2

log_5(x^3) = 2

x^3 = 5^2

x^3 = 25

Теперь найдем все корни этого уравнения:

x = ∛25 = 5

x = -∛25/2 - это комплексные корни, которые не удовлетворяют исходному уравнению.

Таким образом, сумма корней равна: