Question

вычислить угол между векторами m и n, если известно, что |m|=1, |n|=2 , и векторы а=2m+6n, b=4m-2n перпендикулярны

Answer 1

$\vec a \perp \vec b=>\vec a* \vec b=0 \\ a* \vec b=(2 \vec m + 6 \vec n)(4 \vec m - 2 \vec n)=8 \vec m^2-4 \vec m \vec n+24 \vec m \vec n-12 \vec n^2=8 |\vec m|^2+ \\ +20\vec m \vec n-12|\vec n|^2=0 \\ 8*1^2+20\vec m \vec n-12*2^2=0 \\ 20\vec m \vec n=12*4-8=40 \\ \vec m \vec n=2 \\ \vec m \vec n= |\vec m|*|\vec n|cos \alpha \\ 2=1*2*cos \alpha \\ cos \alpha =1=> \alpha =0^o$

Answer 2

Из условия перпендикулярности векторов а=2m+6n и b=4m-2n следует, что их скалярное произведение равно нулю:

а•b = (2m+6n)•(4m-2n) = 0

Раскрываем скобки и сокращаем подобные члены:

8(m•m) + 20(m•n) - 12(n•n) = 0

Так как |m|=1, то (m•m) = |m|^2 = 1

Также известно, что |n|=2, то (n•n) = |n|^2 = 4

Тогда уравнение можно переписать в виде:

8 + 20(m•n) - 12 = 0

Откуда получаем (m•n) = 1/5

Теперь мы можем вычислить косинус угла между векторами m и n:

cos(угол) = (m•n) / (|m||n|) = 1/5 / (12) = 1/10

Учитывая, что 0 ≤ угол ≤ π, можем найти сам угол через обратный косинус (arccos):

угол = arccos(1/10) ≈ 1.47 радиан или ≈ 84.26 градуса (в приближенном значении)