Question

В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны корень из 2. Найдите высоту пирамиды

Answer 1

Смотри картинку, внизу первый пункт, вверху второй, все по теореме Пифагора :)

Answer 2

Чтобы найти высоту правильной четырёхугольной пирамиды, для начала нужно определить её основание. В данном случае мы имеем дело с квадратом, так как все его стороны равны.

Пусть длина стороны квадрата равна a. Тогда, известно, что все рёбра пирамиды равны sqrt(2) a. Рассмотрим правильный треугольник, образованный боковой гранью пирамиды, одной из её высот и половиной диагонали основания.

<img src="https://latex.codecogs.com/svg.latex?\Large&space;\triangle{ABC}" title="\Large \triangle{ABC}" />

Мы можем найти длину его сторон, используя теорему Пифагора:

<img src="https://latex.codecogs.com/svg.latex?\Large&space;AB^2=BC^2+AC^2" title="\Large AB^2=BC^2+AC^2" />

Заметим, что BC равна sqrt(2) a, а AC равна a/2, так как AC является половиной диагонали квадрата. Подставляя эти значения, получаем:

<img src="https://latex.codecogs.com/svg.latex?\Large&space;AB^2=(\sqrt{2}a)^2+(\frac{a}{2})^2=2a^2+\frac{a^2}{4}=\frac{9a^2}{4}" title="\Large AB^2=(\sqrt{2}a)^2+(\frac{a}{2})^2=2a^2+\frac{a^2}{4}=\frac{9a^2}{4}" />

Следовательно, AB равна a * (3/2).

Теперь мы можем рассмотреть правильный треугольник, образованный одной из граней пирамиды и её высотой:

<img src="https://latex.codecogs.com/svg.latex?\Large&space;\triangle{ABD}" title="\Large \triangle{ABD}" />

Здесь BD равна половине диагонали основания, то есть BD = a/2. Значит, мы можем использовать теорему Пифагора для вычисления высоты AD:

<img src="https://latex.codecogs.com/svg.latex?\Large&space;AD^2=AB^2-BD^2=(\frac{3a}{2})^2-(\frac{a}{2})^2=\frac{8a^2}{4}=2a^2" title="\Large AD^2=AB^2-BD^2=(\frac{3a}{2})^2-(\frac{a}{2})^2=\frac{8a^2}{4}=2a^2" />

Таким образом, AD равна a * sqrt(2).

Итак, высота п