Question

Розв'язати нерівність корінь3 tg(x/2+pi/6)=3

Answer 1

Вроде так,надеюсь,что правильно

Answer 2

Почнемо зі зведення даної нерівності до вигляду f(x) > 0, де f(x) буде деякою функцією від x.

Для цього спочатку поділимо обидві частини нерівності на корінь 3, отримаємо:

scssCopy code
tg(x/2+pi/6) = 3 / sqrt(3)

Скористаємося формулою для тангенсу суми двох кутів, а саме: tg(a+b) = (tg(a) + tg(b)) / (1 - tg(a) * tg(b)). З неї можна отримати:

scssCopy code
tg(x/2+pi/6) = (tg(x/2) + tg(pi/6)) / (1 - tg(x/2) * tg(pi/6))

Враховуючи, що tg(pi/6) = 1 / sqrt(3), маємо:

scssCopy code
tg(x/2+pi/6) = (tg(x/2) + 1 / sqrt(3)) / (1 - tg(x/2) / sqrt(3))

Піднесемо обидві частини до квадрату, щоб позбавитися від кореня, отримаємо:

scssCopy code
tg^2(x/2+pi/6) = (tg(x/2) + 1 / sqrt(3))^2 / (1 - tg(x/2) / sqrt(3))^2

Віднімемо від обох частин цей дріб, отримаємо:

scssCopy code
tg^2(x/2+pi/6) - (tg(x/2) + 1 / sqrt(3))^2 / (1 - tg(x/2) / sqrt(3))^2 = 0

Зробимо заміну y = tg(x/2), тоді отримаємо:

scssCopy code
tg^2(x/2+pi/6) - (tg(x/2) + 1 / sqrt(3))^2 / (1 - tg(x/2) / sqrt(3))^2 = 0
(y + 1 / sqrt(3))^2 / (1 - y / sqrt(3))^2 - (y + 1 / sqrt(3))^2 / (1 + y / sqrt(3))^2 = 0
(y + 1 / sqrt(3))^2 * (1 / (1 - y / sqrt(3))^2 - 1 / (1 + y / sqrt(3))^2) = 0

Таким чином, ми отримали квадратичне рівняння відносно y, або ж tg(x/2). Розв'яжемо його.

arduinoCopy code
(y + 1 / sqrt(3))^2 * (1 / (1 - y / sqrt(3))^2 - 1 / (1 + y / sqrt(3))^2