Question

Исследовать на сходимость ряд Сумма от (n=1 до беск) в степени целая часть от корня.

Answer 1

$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^{[\sqrt{n}]}}{n}=-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}-\frac{1}{10}-\frac{1}{11}-\frac{1}{12}-\\ \\\frac{1}{13}-\frac{1}{14}-\frac{1}{15}+\frac{1}{16}+...=-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{8}-\\ \\ -\left(\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+...+\frac{1}{15}\right)+...+(-1)^k\left(\frac{1}{k^2}+\frac{1}{k^2+1}+...+\frac{1}{(k+1)^2-1}\right)+...$

Обозначим $a_k=\displaystyle \frac{1}{k^2}+\frac{1}{k^2+1}+...+\frac{1}{(k+1)^2-1}$ и так как $a_k$

Рассмотрим разность двух соседних членов

$a_k-a_{k+1}=(2k+1)\displaystyle \sum^{2k}_{l=0}\frac{1}{(k^2+l)((k+1)^2+l)}-\frac{1}{k^2+4k+2}-\\ \\ \\ -\frac{1}{k^2+4k+3}>\frac{(2k+1)^2}{(k^2+2k)(k^2+4k+1)}-\frac{1}{k^2+4k+2}-\\ \\ \\ -\frac{1}{k^2+4k+3}>0$

Т. е. при $k\geq k_0$, $a_k>a_{k+1}$, то ряд $\displaystyle \sum^{\infty}_{k=1}(-1)^ka_k$ сходится по признаку Лейбница. Если взять по модулю данный ряд, то ряд расходится. Следовательно, данный ряд сходится условно

Answer 2

Для исследования сходимости данного ряда воспользуемся признаком Коши для рядов:

Признак Коши: Если для ряда ∑an выполняется

lim sup |an+1/an| < 1,

то ряд сходится абсолютно, а если

lim sup |an+1/an| > 1,

то ряд расходится. Если

lim sup |an+1/an| = 1,

то признак Коши не дает никакой информации о сходимости ряда.

Рассмотрим отношение двух последовательных членов данного ряда:

a(n+1)/an = ((n+1)^(1/2))^((n+1)^(1/2) - n^(1/2))

Заметим, что ((n+1)^(1/2) - n^(1/2)) будет стремиться к 0 при n стремящемся к бесконечности. Таким образом,

lim a(n+1)/an = lim ((n+1)^(1/2))^((n+1)^(1/2) - n^(1/2)) = 1.

По признаку Коши получаем, что данная серия расходится, так как lim sup |a(n+1)/an| = 1.

Ответ: Данный ряд расходится.