Question

Решите неравенство методом интервалов (x2-25)(x-2)(x-4)>0

Answer 1

$(x^{2} - 25)(x - 2)(x-4) >0$

$\left \{ {{\bigg{ \ (x^{2} - 25)(x - 2) > 0}} \atop {\bigg{x - 4 > 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}} \right.$

$\left \{ {{\bigg{ \ (x^{2} - 25)(x - 2) < 0}} \atop {\bigg{x - 4 < 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}} \right.$

$\left \{ {{\bigg{ x \in (-5; 2) \cup (5; +\infty)}} \atop {\bigg{x > 4 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}} \right.$

$\left \{ {{\bigg{ x \in (-\infty; -5) \cup (2; 5)}} \atop {\bigg{x < 4 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}} \right.$

$x \in (5; +\infty)$

$x \in (-\infty; -5) \cup (2; 4)$

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup(2;4) \cup (5; +\infty)$

Answer 2

Чтобы решить это неравенство методом интервалов, нужно найти интервалы, на которых выражение $(x^2-25)(x-2)(x-4) > 0$ принимает положительные значения.

Первым шагом найдем точки, в которых выражение обращается в ноль. Уравнение $x^2-25 = 0$ имеет два корня: $x = -5$ и $x = 5$. Уравнения $x-2 = 0$ и $x-4 = 0$ имеют корни $x = 2$ и $x = 4$ соответственно.

Теперь разделим ось чисел на четыре интервала, разделенных найденными точками: $(- \infty, -5), (-5, 2), (2, 4), (4, 5), (5, +\infty)$.

Выберем по одной точке из каждого интервала и подставим их в исходное выражение, чтобы определить знак выражения в каждом интервале:

• При $x = -6$ получим: $(-6^2-25)(-6-2)(-6-4) = (36-25)(-8)(-10) = 11 \cdot (-8) \cdot (-10) < 0$. Выражение отрицательное на этом интервале.
• При $x = 0$ получим: $(0^2-25)(0-2)(0-4) = (-25)(-2)(-4) = 50 \cdot (-4) \cdot (-2) > 0$. Выражение положительное на этом интервале.
• При $x = 3$ получим: $(3^2-25)(3-2)(3-4) = (9-25)(1)(-1) = (-16) \cdot (1) \cdot (-1) < 0$. Выражение отрицательное на этом интервале.
• При $x = 4.5$ получим: $(4.5^2-25)(4.5-2)(4.5-4) = (20.25-25)(2.5)(0.5) = (-4.75) \cdot (2.5) \cdot (0.5) < 0$. Выражение отрицательное на этом интервале.
• При $x = 6$ получим: $(6^2-25)(6-2)(6-4) = (36-25)(4)(2) = 11 \cdot 4 \cdot 2 > 0$. Выражение положительное на этом интервале.

Итак, получаем, что неравенство $(x^2-25)(x-2)(x-4) > 0$ выполняется на интервалах $(-5, 2)$ и $(5, +\infty)$.