Question

Пирог, имеющий квадратную форму, разрезали прямолинейными разрезами, параллельными боковым краям пирога и его диагоналям. Всегда ли полученные кусочки можно разделить между двумя сладкоежками так, чтобы их доли были равны?

Answer 1

Если перог квадратный, то да можно всегда.

Answer 2

Нет, не всегда можно разделить кусочки между двумя сладкоежками так, чтобы их доли были равны.

Рассмотрим пример пирога, имеющего форму квадрата со стороной 4. Разрезаем его на 5 частей, как показано на рисунке ниже:

markdownCopy code
 ___________
|     |     |
|  1  |  2  |
|_____|_____|
|     |     |
|  3  |  4  |
|_____|_____|

Здесь разрезы параллельны боковым краям пирога и его диагоналям, и мы получили 5 кусков.

Предположим, что мы можем разделить эти куски между двумя сладкоежками так, чтобы их доли были равны. Тогда каждая из сладкоежек получит два куска из множества {1, 2, 3, 4}, и один из кусков должен остаться.

Однако невозможно выбрать два куска из множества {1, 2, 3, 4} так, чтобы их сумма была равна сумме любых других двух кусков из этого множества. Например, сумма кусков 1 и 4 равна 5, а сумма кусков 2 и 3 равна 6, и эти суммы не могут быть сделаны равными путем выбора разных кусков для каждой из сладкоежек.

Таким образом, мы доказали, что не всегда возможно разделить кусочки пирога, имеющего квадратную форму и разрезанного параллельными боковым краям и диагоналям, между двумя сладкоежками так, чтобы их доли были равны.