Question

Докажите что при любом натуральном n число 2n+2n+1+2n+2 делится на 14 

Answer 1

Это не верно. Если n=1, то получается
что 2n+2n+1+2n+2=2*1+2*1+1+2*1+2=2+2+1+2+2=9
9 не делится на 14

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение методом математической индукции.

Шаг 1: База индукции При n = 1: 2n + 2n+1 + 2n+2 = 2(1) + 2(1+1) + 2(1+2) = 2 + 4 + 8 = 14. Таким образом, база индукции верна.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что для некоторого k число 2k + 2k+1 + 2k+2 делится на 14, то есть существует целое число m, такое что 2k + 2k+1 + 2k+2 = 14m.

Шаг 3: Индукционный переход Докажем, что утверждение выполняется для (k + 1), используя предположение индукции.

2(k + 1) + 2(k + 1)+1 + 2(k + 1)+2 = 2k + 2 + 2k + 3 + 2k + 4 + 2 = (2k + 2k + 2k) + (2 + 3 + 4) + 2.

Заметим, что в скобках у нас находится сумма трех членов арифметической прогрессии со знаменателем 2, начинающейся с 2 и заканчивающейся 4. Сумма такой прогрессии вычисляется по формуле: S = (n/2)(a + l), где n - количество элементов, a - первый элемент, l - последний элемент. В данном случае у нас n = 3, a = 2, l = 4.

2 + 3 + 4 = (3/2)(2 + 4) = 3 * 6 = 18.

Таким образом, мы получаем:

(2k + 2k + 2k) + (2 + 3 + 4) + 2 = 6k + 18 + 2 = 6k + 20.

Мы предположили, что 2k + 2k+1 + 2k+2 делится на 14, то есть 2k + 2k+1 + 2k+2 = 14m. Теперь мы можем записать:

6k + 20 = 14m.

Для доказательства индукционного перехода нам нужно показать, что левая часть делится на 14 при некотором целом m.

Разделим обе части равенства на 2:

3k + 10 = 7m.

Получили уравнение, которое нужно доказать. Заметим, что левая часть 3k + 10 является четным числом, так как 3k - четное число, а