Question

Докажите,что при любом значении р уравнение х²+рх+р-3=0 Имеет два корня

Answer 1

Чтобы найти корни х²+рх+р-3=0 надо найти его дискриминант
D₁ = b² - 4ac = p² - 4*1*(p-3) = p² - 4p +12
если дискриминант D₁ положителен, то будет два решения.

Поэтому осталось доказать, что уравнение p² - 4p +12 всегда больше нуля
p² - 4p +12 > 0 , т.е. не имеет корней
или иначе его дискриминант D₂ отрицательный
D₂ = b² - 4ac = (-4)² - 4*1*12 = 16 - 48 = -32
значит уравнение p² - 4p +12  ( которое равно D₁ )  всегда положительно
поэтому всегда существуют два корня исходного уравнения  х²+рх+р-3=0
D₁ > 0 при любых p
x₁ = ( -b + √D₁ ) / 2a
x₂ = ( -b  - √D₁ ) / 2a

Answer 2

Для того чтобы доказать, что уравнение $x^2+rx+r-3=0$ имеет два корня при любом значении $r$, необходимо показать, что дискриминант этого уравнения всегда положителен.

Дискриминант квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$ выражается как $D=b^2-4ac$. В данном случае, $a=1$, $b=r$, и $c=r-3$. Подставляя эти значения в формулу для дискриминанта, получим:

$D = r^2 - 4(r-3) = r^2 - 4r + 12$

Для того, чтобы показать, что $D > 0$ при любом значении $r$, мы можем воспользоваться методом завершения квадрата. Для этого добавим и вычтем из выражения $D$ число $4$:

$D = r^2 - 4r + 12 - 4 + 4 = (r-2)^2 + 8$

Таким образом, мы получили, что $D$ равен квадрату разности $r-2$ и числа $4$, увеличенному на $8$. Поскольку квадрат любого числа всегда неотрицателен, то $(r-2)^2 \geq 0$, а значит, $(r-2)^2 + 8 > 0$ при любом значении $r$.

Таким образом, мы доказали, что дискриминант уравнения $x^2+rx+r-3=0$ всегда положителен, а значит, у этого уравнения всегда два корня.