Question

Помогите, чет не выходит ниче arctg^2x:1+x^2*dx

Answer 1

$\int \frac{arctg^2x}{1+x^2}dx=[\, t=arctgx,\; dt=\frac{dx}{1+x^2}\, ]=\int t^2\, dt=\\\\=\frac{t^3}{3}+C=\frac{1}{3}arctg^3x+C$

Answer 2

Для вычисления интеграла ∫(arctg^2x)/(1+x^2)dx можно воспользоваться методом частей (интегрирование по частям). Давайте начнем с применения этого метода.

Пусть u = arctg^2x и dv = 1/(1+x^2)dx. Тогда du = 2arctg(x)/(1+x^2)dx и v = ∫(1/(1+x^2))dx = arctg(x).

Используя формулу интегрирования по частям ∫u dv = uv - ∫v du, мы можем вычислить интеграл:

∫(arctg^2x)/(1+x^2)dx = uv - ∫v du = arctg^2(x) * arctg(x) - ∫(arctg(x) * (2arctg(x))/(1+x^2))dx = arctg^2(x) * arctg(x) - 2∫(arctg^2(x)/(1+x^2))dx

Здесь у нас остается интеграл ∫(arctg^2x)/(1+x^2)dx, который повторяет исходный интеграл.

Таким образом, получается рекуррентное уравнение: ∫(arctg^2x)/(1+x^2)dx = arctg^2(x) * arctg(x) - 2∫(arctg^2x)/(1+x^2)dx

Давайте решим это уравнение. Пусть I = ∫(arctg^2x)/(1+x^2)dx. Тогда выражение становится: I = arctg^2(x) * arctg(x) - 2I 3I = arctg^2(x) * arctg(x) I = (1/3) * arctg^2(x) * arctg(x)

Итак, окончательный ответ: ∫(arctg^2x)/(1+x^2)dx = (1/3) * arctg^2(x) * arctg(x) + C,

где C - произвольная постоянная.