Question

Диагональ AC ромба ABCD равна (под корнем 2+ корень из 3 ), а угол при вершине C равен 30∘. Найдите площадь треугольника ACD

Answer 1

Начнем с того, что с применением тригонометрии эта задача решается элементарно. Если М - точка пересечения диагоналей, то MD = MC*tg(15);

Sacd = AC*MD/2 = (2+корень(3))*tg(15)/(2*2) = (2+корень(3))*(1 - cos(30))/(4*sin(30));

Sacd = (1 + корень(3)/2)*(1 - корень(3)/2) = (1 - 3/4) = 1/4; 

 

Я так понял, что вся соль - решить задачу без применения тригонометрии.

Прежде всего, заметим, что расстояние между AD и ВС равно половине стороны ромба а (проводим высоту из точки D на ВС и вспоминаем про угол 30 градусов, высота ромба a/2). Отсюда расстояние от М до стороны ромба (любой) равно а/4; пусть МК перпендикулярно AD, AD = a; МК = a/4; MC = корень(2 + корень(3))/2 = m; MD = x; из подобия МКD и MDC имеем

m/a = a/(4*x); 4*x*m = a^2; но a^2 = m^2 + x^2;

4*x*m = m^2 + x^2; (x/m)^2 - 4*(x/m) + 1 = 0;

оставляем корень, при котором x/m < 1; 

x = m*(2 - корень(3));

S = m^2*(2 - корень(3)) = (1/4)*(2 + корень(3))*(2 - корень(3)) = 1/4