Question

Докажите что число 11^n+12^2n-1 при всех n∈N делится на 133

Answer 1

Просто умножь133 на все это

Answer 2

Для доказательства этого утверждения воспользуемся математической индукцией.

Базовый шаг: при n=1, мы имеем 11^1+12^2*1-1=144, что делится на 133.

Шаг индукции: предположим, что для некоторого k∈N число 11^k+12^2k-1 делится на 133. Мы должны показать, что это также верно для k+1.

Заметим, что 11^(k+1)+12^2(k+1)-1 = 11*(11^k) + 144*(12^2k-1).

По предположению индукции, 11^k+12^2k-1 делится на 133, поэтому мы можем записать:

11^k+12^2k-1 = 133*a, где a - целое число.

Тогда выражение 11^(k+1)+12^2(k+1)-1 можно переписать следующим образом:

11^(k+1)+12^2(k+1)-1 = 11*(11^k) + 144*(12^2k-1) = 11*(11^k) + 1113(12^2k-1) + 2*(12^2k-1)

= 11*(11^k + 13*(12^2k-1)) + 2*(12^2k-1).

Мы знаем, что 11^k + 13*(12^2k-1) является целым числом, так как оба слагаемых являются целыми. Кроме того, по предположению индукции 11^k+12^2k-1 делится на 133, а также 133 делится на 2 и на 144, поэтому 2*(12^2k-1) также делится на 133.

Значит, мы имеем:

11^(k+1)+12^2(k+1)-1 = 11*(11^k + 13*(12^2k-1)) + 2*(12^2k-1) = 11133a + 133b = 133(11*a+b),

где b - целое число.

Таким образом, мы доказали, что если 11^k+12^2k-1 делится на 133, то и 11^(k+1)+12^2(k+1)-1 также делится на 133. Из базового шага и шага индукции следует, что это утверждение верно для всех натуральных n.