Question

Помогите,пожалуйста!!!!!!!! sin2x+cos(x+pi/4)=-2

Answer 1

Sin2x+cos(x+ π/4)=-2 ;  
cos(x+π/4) = -3+ (cos²x + sin²x) -sin2x ;
cos(x+π/4) = -3+ (cos²x  -2sinxcosx +  sin²x) ;
cos(x+π/4) = -3+ (cos x  - sinx)² ;
* * * cosx -sinx = √2(cosx*1/√2 +sinx*1/√2)=√2(cosx*cosπ/4 +sinx*sinπ/4)  = √2cos(x-  π/4) * * *
cos(x+π/4)  =-3 +(√2cos(x- π/4))² ;
2cos²(x- π/4) - cos(x+π/4) -3 =0 ;
 * * * замена  t =cos(x-  π/4) ;  -1≤t ≤1    * * *
2t² -  t -3=0 ;
t₁=( 1 +5)/4 =3 /2  >1 не решение исходного уравнения .
t₂=(1 -5)/4 =-1 ⇒cos(x+π/4) =-1⇔x+π/4=π+2πk, k∈Z ⇔x=3π/4+2πk, k∈Z.

ответ:  x=3π/4+2πk, k∈Z .

* * * * * * * 
sin2x+cos(x+pi/4)=-2 ;  
* * * -1≤cos(x+π/4)≤1⇒ -√2≤cos(x+π/4)≤√2  ≈1,41 * **
* * * cos(x+π/4) =cosx*cosπ/4 -sinx*sinπ/4 =(√2/2)*(cosx -sinx) * * *
2sinxcosx +((√2)/2) *(cosx -sinx) = -3 +(cos²x +sin²x)   ;
((√2)/2)*( cosx -  sinx) = -3  + (cos²x  - 2sinxcosx +sin²x) ;
((√2)/2)*(cosx - sinx) = -3  + (cosx  - sinx)² 
2(cosx -sinx)² -√2*(cosx - sinx) -6 =0 ; * * * замена  t = cosx -sinx * * *
2t² -  √2t -6=0 ;
t₁=(√2 -5√2)/4 = -√2 ;
t₂=(√2 +5√2)/4 =3 √2 /2 .
---
а) cosx -sinx= -√2 ⇔√2cos(x+π/4) = -√2⇔cos(x+π/4) = -1 ;
x+π/4=π+2πk, k∈Z .  x=3π/4+2πk, k ∈Z .
---
б) cosx -sinx= (3√2)/2 ⇔√2cos(x+π/4) =(3√2)/2 ⇔cos(x+π/4) =3/2 >1
нет корней

Answer 2

Давайте решим это уравнение шаг за шагом. Начнем с уравнения:

sin(2x) + cos(x + π/4) = -2

Первым шагом можно заметить, что угол (x + π/4) внутри функции cos является суммой двух углов. Мы можем использовать тригонометрические тождества для его упрощения:

cos(x + π/4) = cos(x)cos(π/4) - sin(x)sin(π/4) = (1/√2)(cos(x) - sin(x))

Теперь мы можем подставить это обратно в исходное уравнение:

sin(2x) + (1/√2)(cos(x) - sin(x)) = -2

Давайте обозначим (1/√2) как k для удобства записи:

sin(2x) + k(cos(x) - sin(x)) = -2

Далее, мы можем раскрыть sin(2x) используя тригонометрическую формулу двойного угла:

2sin(x)cos(x) + k(cos(x) - sin(x)) = -2

Распишем это уравнение:

(2cos(x) + k)sin(x) + (2sin(x) - k)cos(x) = -2

Теперь мы можем преобразовать это уравнение в более привычную форму, разделив его на sin(x):

(2cos(x) + k)/(2sin(x) - k) = -2/sin(x)

Теперь у нас есть отношение двух тригонометрических функций, которое можно решить. Возможно, стоит учесть, что sin(x) не может быть равен нулю, поскольку это привело бы к делению на ноль.