Question

Помогитеееее 2sin((3п/2)-x)*cos((п/2)-x)=sqrt(2)*cosx

Answer 1

2sin(3π/2 -x)*cos(π/2 -x) =√2 *cosx ;
-2cosx*sinx =  √2 *cosx ;
2 cosx*sinx +  √2 *cosx =0  ;
2 cosx*(sinx +  √2 / 2) = 0 ;

a)   cosx =  0  ⇒x =π/2 +π*n , n∈Z .
b) sinx +  √2 / 2 =0 ;
 sinx = -  √2 / 2   ;
x = (-1)^(n+1)* (π/4) +π*n ,  n∈Z ..

ответ   :  { π/2 +π*n  ;   (-1)^(n+1)* (π/4) +π*n  ,   n∈Z }

Answer 2

Начнём с левой стороны уравнения:

2sin((3π/2) - x) * cos((π/2) - x)

Используем тригонометрические тождества:

sin((3π/2) - x) = sin(π/2 + x) = cos(x)

cos((π/2) - x) = sin(x)

Тогда левая сторона примет вид:

2cos(x)*sin(x) = sin(2x)

Подставим этот результат в исходное уравнение:

sin(2x) = √2*cosx

Разделим обе части на cosx:

tan(2x) = √2

Используя тригонометрическое тождество tan(2x) = (2tanx)/(1-tan^2x), получим:

(2tanx)/(1-tan^2x) = √2

Разделим обе части на 2:

tanx/(1/2 - 1/2tan^2x) = 1/√2

Введем новую переменную y = tanx, тогда:

y/(1/2 - 1/2y^2) = 1/√2

Умножим обе части на (1/2 - 1/2y^2):

y = (1/√2)*(1/2 - 1/2y^2)

y = 1/(2√2) - y^2/(2√2)

y^2/(2√2) + y - 1/(2√2) = 0

Решим это квадратное уравнение:

y = (-1 ± √3)/2√2

Так как y = tanx, то:

x = arctan((-1 ± √3)/2√2) + nπ, где n - любое целое число.

Итак, ответ:

x = arctan((-1 + √3)/2√2) + nπ, либо x = arctan((-1 - √3)/2√2) + nπ, где n - любое целое число.