Question

Найдите промежутки возрастания и убывания функции: у=6х2-4х3+5

Answer 1

y=6x^2-4x^3+5;

y'=12x-12x^2;

12x-12x^2=0;

12x(1-x)=0;

12x=0;            или            1-x=0;

x=0                                    x=1

 

_____-_______|_________+________|_______-_______>

                         0                                    1                            x

 

 

Ответ: а) функция убывает на (-∞;0) U (1;+∞);

            б) функция возрастает на (0;1).

Answer 2

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нужно найти её производную и решить неравенство f'(x) > 0 для промежутков возрастания и f'(x) < 0 для промежутков убывания.

Вычислим производную функции у(x): f'(x) = 12x - 12x^2

Теперь найдём точки, в которых производная равна 0: f'(x) = 0 12x - 12x^2 = 0 12x(1 - x) = 0 x1 = 0, x2 = 1

Точки x1=0 и x2=1 разбивают область определения на три интервала: (-∞,0), (0,1), (1,+∞).

Проверим производную на каждом из этих интервалов:

• интервал (-∞,0): f'(x) < 0 для всех x на этом интервале, следовательно, функция убывает на этом интервале.

• интервал (0,1): f'(x) > 0 для всех x на этом интервале, следовательно, функция возрастает на этом интервале.

• интервал (1,+∞): f'(x) < 0 для всех x на этом интервале, следовательно, функция убывает на этом интервале.

Таким образом, функция возрастает на интервале (0,1) и убывает на интервалах (-∞,0) и (1,+∞).

Ответ: Промежуток возрастания: (0,1). Промежутки убывания: (-∞,0) и (1,+∞).