Question

Срочно, помогите! Найти площадь фигуры ограниченной заданными линиями 1) y=x^3+1, y=1+x^1/2

Answer 1

Найдем точки пересечения этих линий
x³+1=1+√x
x³=√x
x=0 и x=1
площадь фигуры
$S=\int\limits^1_0 {(1+x^{1/2})} \, dx- \int\limits^1_0 {(x^3+1)} \, dx = \\ \\ \int\limits^1_0 {(1+x^{1/2}-x^3-1)} \, dx=\int\limits^1_0 {(x^{1/2}-x^3)} \, dx= \\ ( \frac{2}{3} x^{3/2}- \frac{1}{4}x^4)|^1_0=$

=2/3-1/4=(8-3)/12=5/12

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя заданными линиями, вам потребуется найти точки их пересечения и затем использовать интеграл для вычисления площади.

Давайте найдем точки пересечения линий y = x^3 + 1 и y = 1 + x^(1/2).

Для этого приравняем выражения: x^3 + 1 = 1 + x^(1/2)

Вычитая 1 из обеих частей: x^3 - x^(1/2) = 0

Факторизуем выражение: x^(1/2)(x^(5/2) - 1) = 0

Получаем два возможных значения x: x^(1/2) = 0 => x = 0 x^(5/2) - 1 = 0 => x^(5/2) = 1 => x = 1

Теперь найдем соответствующие значения y для этих точек. Для x = 0: y = (0)^3 + 1 = 1

Для x = 1: y = (1)^3 + 1 = 2

Таким образом, точки пересечения линий - (0, 1) и (1, 2).

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, используя интеграл. Поскольку у нас есть две кривые, площадь можно выразить как разность между интегралами функций y = x^3 + 1 и y = 1 + x^(1/2) на интервале от x = 0 до x = 1.

Площадь = ∫[0,1] (x^3 + 1 - (1 + x^(1/2))) dx

Выполняя интегрирование, получим:

Площадь = ∫[0,1] (x^3 - x^(1/2)) dx

Площадь = (1/4)x^4 - (2/3)x^(3/2)]|_[0,1]

Подставляя верхний и нижний пределы интегрирования, получим:

Площадь = [(1/4)(1)^4 - (2/3)(1)^(3/2)] - [(1/4)(0)^4 - (2/3)(0)^(3/2)]

Площадь = (1/4 - 2/3) - (0 - 0)

Площадь = 1/12

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^3 + 1 и y = 1 + x^(1/2), равна 1/12.