Question

Найдите произведение корней уравнения lg (x+3)=1-lg(x-3) ? 1. √19 2. 19 3. -2 4. 1 С решением, пожалуйста!

Answer 1

Lg(x+3)=1-lg(x-3)
lg(x+3)=lg10-lg(x-3)
lg(x+3)+lg(x-3)=lg10
lg(x+3)(x-3)=10
x²-9=10
x²=19
x₁=√19     x₂=-√19
x₁*x₂=√19*(-√19) =-19.

Answer 2

Для решения уравнения lg(x + 3) = 1 - lg(x - 3), начнём с введения новой переменной. Обозначим lg(x - 3) как t, тогда уравнение примет вид:

lg(x + 3) = 1 - t.

Теперь применим свойство логарифма: если lg(a) = b, то a = 10^b. Используя это свойство для обеих частей уравнения, получим:

x + 3 = 10^(1 - t).

Также мы знаем, что t = lg(x - 3), поэтому x - 3 = 10^t.

Теперь решим систему уравнений:

x + 3 = 10^(1 - t), x - 3 = 10^t.

Для удобства решим второе уравнение относительно x и получим:

x = 10^t + 3.

Подставим это значение в первое уравнение:

10^t + 3 + 3 = 10^(1 - t).

Упростим выражение:

10^t + 6 = 10^(1 - t).

Теперь приведём оба члена уравнения к общему основанию 10:

10^t + 6 = 10 * 10^(-t).

Перепишем 10^(-t) в виде 1/10^t:

10^t + 6 = 10 * (1/10^t).

Упростим:

10^t + 6 = 1/10^(t - 1).

Перепишем 1/10^(t - 1) в виде 10^(-t + 1):

10^t + 6 = 10^(-t + 1).

Теперь оба члена уравнения имеют одинаковые степени основания 10:

10^t = 10^(-t + 1).

Уравнение справедливо только если показатели степени равны:

t = -t + 1.

Сложим оба члена на одну сторону:

2t = 1.

Разделим обе части на 2:

t = 1/2.

Теперь найдём x, используя второе уравнение:

x - 3 = 10^t, x - 3 = 10^(1/2).

Извлекаем квадратный корень:

x - 3 = √10.

Теперь добавляем 3 к обеим сторонам:

x = √10 + 3.

Таким образом, получаем решение x = √10 + 3.

Однако, для нахождения произведения корней уравнения, нам необходимо найти второй корень.

Подставим t = -1/2 во второе уравнение:

x - 3 = 10^(-1/2).

Извлекаем обратный корень:

x -