Question

При каких значениях параметра а уравнение (√х – a)(4x - 9) = 0 имеет единственное решение?

Answer 1

$(\sqrt{x}-a)(4x-9)=0$
ОДЗ: $x \geq 0$
уравнение на ОДЗ равносильно двум уравнениям 
первое:
$\sqrt{x}-a=0$
$\sqrt{x}=a$
$x=a^2$
 
второе: $4x-9=0$
$4x=9$
$x=\frac{9}{4}$
следовательно когда $a^2=\frac{9}{4}$ у нас будет одно решение $x=\frac{9}{4}$, в противном случае два $x_1=a^2;x_2=\frac{9}{4}$

Условие $a^2=\frac{9}{4}$ выполняется при 
$a^2=(\frac{3}{2})^2$
$a_1=-\frac{3}{2}=-1.5; a_2=\frac{3}{2}=1.5$
ответ: при  а равном -1.5 или 1.5 уравнение имеет единственное решение, а именно 9/4

Answer 2

Для того чтобы уравнение имело единственное решение, необходимо, чтобы каждый из двух множителей был равен нулю только в одной точке. Таким образом, нужно найти значение параметра а, при котором каждый из множителей равен нулю только в одной точке.

1. Если первый множитель (√x – a) равен нулю только в одной точке, то √x = a, откуда x = a^2.

2. Если второй множитель (4x - 9) равен нулю только в одной точке, то 4x = 9, откуда x = 9/4.

Таким образом, чтобы уравнение имело единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы параметр а был равен ±3/2, при этом второй множитель не равнялся нулю в точке x = a^2. Это означает, что a ≠ ±3/2, иначе второй множитель равен нулю при x = a^2 = 9/4, что приводит к бесконечному множеству решений.

Таким образом, ответ: a должно быть любым числом, отличным от ±3/2.