Question

Докажите,что сумма квадратов четырёх последовательных чисел при делении на 4 даёт остаток 2

Answer 1

Объяснение:

$a^{2} + (a+1)^{2} + (a+2)^{2} + (a+3)^{2} = \\= a^{2} + a^{2} + 2a + 1 + a^{2} + 4a + 4 + a^{2} + 6a + 9 = \\= 4a^{2} + 12a + 14$ = $4 (a^{2} + 3a + 3) + 2$

При делении этого выражения на 4, скобка поделится нацело (т.к. есть множитель 4 перед скобкой), а 2 останется как остаток.

Answer 2

Пусть первое число будет a, тогда 2-е будет (a+1), 3-е - (a+2), 4-е - (a+3)

Докажем, что сумма квадратов этих чисел минус два делится на четыре.

a2+(a+1)2+(a+2)2+(a+3)2 = a2+2a+1+a2+4a+4+a2+6a+9-2 = 4a2+12a+12

Это число делится на 4 независимо от того, чему равно a

Answer 3

Пусть первое из четырех последовательных чисел равно n, тогда эти четыре числа будут иметь вид:

n, n+1, n+2, n+3

Тогда сумма квадратов этих чисел равна:

n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 + (n+3)^2

Раскрывая скобки и упрощая, получим:

4n^2 + 12n + 14

Для того, чтобы доказать, что данная сумма при делении на 4 даёт остаток 2, достаточно показать, что она имеет вид 4k + 2 для некоторого целого числа k. Для этого можно записать:

4n^2 + 12n + 14 = 4(n^2 + 3n + 3) + 2

Таким образом, мы получили выражение вида 4k + 2, что и доказывает наше утверждение.