Question

Помогите пожалуйста ❗️❗️❗️❗️❗️❗️❗️❗️❗️❗️❗️❗️❗️❗️❗️❗️❗️❗️❗️❗️❗️❗️❗️❗️❗️ Исследовать ряд на сходимость n! sin(pi/2^n) В пределах от 1 до бесконечности

Answer 1

$\sum n! sin(\dfrac{\pi}{2^n} )\\ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}= \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n! sin(\dfrac{\pi}{2^n})}= \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n \dfrac{\pi}{2^n}}= \\ \lim_{n \to \infty}\dfrac{n}{2e} \sqrt[n]{\sqrt{2\pi n} \pi}=\lim_{n \to \infty}\dfrac{n}{2e} =\infty\neq 0$

Необходимое условие сходимости не выполнено, а значит ряд расходится.

Answer 2

Для исследования сходимости ряда n! sin(pi/2^n), мы можем использовать тест сходимости Даламбера или признак Коши. Давайте рассмотрим оба этих признака.

1. Тест сходимости Даламбера: Для этого теста мы рассмотрим отношение двух последовательных членов ряда и вычислим его предел при n стремящемся к бесконечности: L = lim(n -> ∞) |(a_{n+1}| / |a_n|)

В нашем случае, a_n = n! sin(pi/2^n), поэтому: a_{n+1} = (n+1)! sin(pi/2^(n+1))

Вычислим отношение двух последовательных членов: L = lim(n -> ∞) |((n+1)! sin(pi/2^(n+1))) / (n! sin(pi/2^n))| = lim(n -> ∞) |(n+1) sin(pi/2^(n+1)) / sin(pi/2^n)|

Заметим, что sin(pi/2^(n+1)) / sin(pi/2^n) = 2^(n+1) / (2^n * (2^n + 1)) = 2 / (2^n + 1)

Таким образом, предел L принимает вид: L = lim(n -> ∞) |(n+1) * (2 / (2^n + 1))| = lim(n -> ∞) (n+1) * (2 / (2^n + 1))

Мы можем упростить это выражение, применив правило Лопиталя или анализируя предел внимательнее, и обнаружим, что L = 0.

Поскольку L < 1, согласно тесту Даламбера, ряд сходится.

2. Признак Коши: Для этого признака мы также рассмотрим отношение двух последовательных членов ряда, но теперь будем смотреть на предел корня n-й степени: L = lim(n -> ∞) |(a_n+1 / a_n)^(1/n)|

В нашем случае: L = lim(n -> ∞) |((n+1)! sin(pi/2^(n+1))) / (n! sin(pi/2^n))|^(1/n)

Заметим, что sin(pi/2^(n+1)) / sin(pi/2^n) = 2 / (2^n + 1) < 1

Таким образом, предел L принимает вид: L = lim(n -> ∞) |(n+1) * (2 / (2^n + 1))|^(1/n) = lim(n -> ∞) (n+1)^(1/n) * (2 / (2^n + 1))^(1/n)

Обратите внимание, что (n+1)^(1/n) стремится к