Question

Доказать, что неравенство x20-x^17+x^14-x^3+x^2-x+1>0 выполняется для всех действительных значений х.

Answer 1

Рассмотрим случаи.
1) Если  $x \leq 0$ , то
$x^{20}-x^{17}-x^3+x^2-x+1\ \textgreater \ 0$
2) Если  $0\ \textless \ x \leq 1$, то
$x^{20}-x^{17}+x^{14}-x^3+x^2-x+1 \geq x^{20}-x^{17}+x^{14}-x+1\\ x^{20}-x^{17}+x^{14}-x+1 \geq x^{20}-x+1\\ x^{20}-x+1 \geq x^{20}\\ x^{20}\ \textgreater \ 0$
3) Если  $x\ \textgreater \ 1$, то
$x^{20}-x^{17}+x^{14}-x^3+x^2-x+1\ \textgreater \ x^{14}-x^3+x^2-x+1\\ x^{14}-x^3+x^2-x+1\ \textgreater \ x^2-x+1\\ x^2-x+1\ \textgreater \ 1\\ 1\ \textgreater \ 0$

Во всех случаях видим, что левая часть неравенства принимает только положительные значения

Answer 2

Для доказательства данного неравенства нам понадобится некоторая алгебраическая манипуляция. Давайте рассмотрим выражение:

x^20 - x^17 + x^14 - x^3 + x^2 - x + 1

Мы можем преобразовать его, сгруппировав некоторые члены:

(x^20 + x^14 + x^2 + 1) - (x^17 + x^3 + x)

Теперь давайте рассмотрим каждую из этих групп отдельно.

Группа 1: x^20 + x^14 + x^2 + 1

Мы можем заметить, что данная группа состоит из суммы положительных членов. Каждый член этой группы неотрицателен, так как x^20, x^14, x^2 и 1 неотрицательны для всех действительных значений x. Таким образом, сумма этих членов, то есть группа 1, также неотрицательна.

Группа 2: x^17 + x^3 + x

Мы также можем заметить, что каждый член этой группы отрицателен или равен нулю для всех действительных значений x. Каждый член x^17, x^3 и x отрицателен для отрицательных значений x и равен нулю при x = 0. Таким образом, сумма этих членов, то есть группа 2, также отрицательна или равна нулю.

Итак, мы имеем:

(x^20 + x^14 + x^2 + 1) - (x^17 + x^3 + x)

Так как группа 1 неотрицательна, а группа 2 отрицательна или равна нулю, то сумма этих групп будет больше нуля:

(x^20 + x^14 + x^2 + 1) - (x^17 + x^3 + x) > 0

Таким образом, мы доказали, что неравенство x^20 - x^17 + x^14 - x^3 + x^2 - x + 1 > 0 выполняется для всех действительных значений x.