Question

Два трактора вспахали поле: сначала первый работал 3 дня, а затем второй 2 дня. За какое время вспахали бы поле оба трактора, работая вместе, если один первый трактор выполнил бы эту работу на 4 дня быстрее, чем один второй.

Answer 1

Пусть х - скорость вспашки в день первго трактора, у - скорость вспашки в день второго трактора, а 1 - весь объём работы. Тогда можем составить систему уравнений:

$3x + 2y = 1 \\ \\ \frac{1}{x}+4 = \frac{1}{y}$

Из второго уравнения выражаем игрек и подставляем в первое:

$\frac{1}{x}+4 = \frac{1}{y} \\ \\ \frac{4x+1}{x} = \frac{1}{y} \\ \\ y = \frac{x}{4x+1} \\ \\ 3x +\frac{2x}{4x+1} =1 \\ \\ \frac{12x^2+5x}{4x+1} =1 \\ \\ 12x^2 +5x = 4x +1 \\ \\ 12x^2 + x -1 =0 \\ \\ D=1^2 -4*12*(-1) = 49 \\ \\ x_1 = \frac{-1+ \sqrt{49} }{2*12} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} \\ \\ x_2 = \frac{-1- \sqrt{49} }{2*12} = -\frac{8}{24} = -\frac{1}{3}[/tex]\\Второе решение не подходит, т.к. скорость не м.б. отрицательной. Значит, х = 1/4. Считаем игрек из первого уравнения.\\[tex]3x + 2y = 1 \\ \\ 3* \frac{1}{4} +2y = 1 \\ \\ 2y = \frac{1}{4} \\ \\ y =\frac{1}{8}$

Считаем за сколько дней оба трактора вспашут поле. Для этого весь объём работ делим на сумму скоростей вспашки.

$\frac{1}{ \frac{1}{4} + \frac{1}{8} } = \frac{1}{ \frac{3}{8} } = \frac{8}{3}$

Ответ: за 8/3 дня, или 2 дня и ещё 2/3 дня.

Answer 2

Обозначим скорость работы первого трактора как $x$ и скорость работы второго трактора как $y$ (в единицах площади поля в день). Тогда за 3 дня первый трактор вспахал $3x$ единиц площади, а за 2 дня второй трактор вспахал $2y$ единицы площади.

Мы знаем, что первый трактор может выполнить работу быстрее, чем второй, на 4 дня. То есть, если бы они работали одновременно, то первый трактор вспахал бы поле за $t-4$ дня, а второй - за $t$ дней, где $t$ - время, за которое они вспахали бы поле вместе.

Используя формулу $s=vt$ для расстояния $s$, скорости $v$ и времени $t$, получаем уравнения:

$3x + 2y = s \qquad\qquad\qquad\qquad (1)$ $(t-4)x + ty = s \qquad\qquad\qquad (2)$

Решая систему уравнений (1) и (2), найдем значение $t$:

$\begin{aligned}3x+2y &= (t-4)x+ty \\ 2y+4x &= t(x+y) \\ t &= \frac{2y+4x}{x+y} \\ t &= \frac{2\cdot2+4\cdot1}{1+2} \\ t &= 2. \end{aligned}$

Таким образом, оба трактора вместе вспахают поле за 2 дня.