Question

Найдите трёхзначное число, которое кратно 11, цифры которого различны, а сумма делится на 3, Но не делится на 9

Answer 1

Это может быть цифра 231, она кртатна 11 (= 21) и на 3 тоже(=77).

На 9 не делится.

Answer 2

Для того, чтобы число было кратным 11, разность между суммой цифр на четных позициях и суммой цифр на нечетных позициях должна быть кратна 11. Также, так как сумма цифр делится на 3, то она может быть равна только 6 или 15 (так как сумма различных цифр от 1 до 9 равна 45, которая не делится на 3). Если сумма цифр равна 15, то третья цифра должна быть равна 3, чтобы сумма не превысила 18 (и не делилась на 9), но тогда разность сумм цифр на четных и нечетных позициях равна -3, что не делится на 11. Значит, сумма цифр равна 6.

Пусть на четных позициях стоят цифры a и b, а на нечетных - цифра c. Тогда число может быть записано в виде 100a + 10b + c. Так как сумма цифр равна 6, то a, b и c могут быть только 1, 2 и 3 (в каком-то порядке). Также, разность сумм цифр на четных и нечетных позициях должна быть кратна 11, то есть a - b + c должно быть равно 11 или -11. Попробуем перебрать все возможные комбинации цифр и выбрать те, которые удовлетворяют этим условиям:

• a=1, b=2, c=3: a-b+c=2, не кратно 11
• a=1, b=3, c=2: a-b+c=0, не кратно 11
• a=2, b=1, c=3: a-b+c=4, не кратно 11
• a=2, b=3, c=1: a-b+c=0, не кратно 11
• a=3, b=1, c=2: a-b+c=10, кратно 11
• a=3, b=2, c=1: a-b+c=-8, кратно 11

Таким образом, единственное число, которое удовлетворяет всем условиям задачи, это 321.