Question

Найдите все значения b ,при которых уравнение: 9^x+(b^2+6)3^x-b^2+16=0 не имеет корней

Answer 1

Выполним замену $3^x=t$ причем $t>0.$ Получаем

$t^2+(b^2+6)t-b^2+16=0$

Дискриминант квадратного уравнения:

$(b^2+6)^2-4(16-b^2)=b^4+12b^2+36-64+4b^2=b^4+16b^2-36$

Если D < 0, то квадратное уравнение корней не имеет. , т.е.

$b^4+16b^2-36$

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству

$-10$

При $b \in \Big(-\sqrt{2};\sqrt{2}\Big)$ данное уравнение корней не будет иметь.

Теперь рассмотрим случай когда квадратное уравнение относительно t имеет корни, т.е. $b \notin\Big(-\sqrt{2};\sqrt{2}\Big)$, то нам нужны отрицательные корни, поскольку при замене $3^x=t$ это уравнение не будет иметь корень. По теореме Виета имеем:

$t_1+t_2=-b^2-60~~~~\Rightarrow~~~ -4$

С учетом существования корней имеем $b \in (-4;4)$

Ответ: при $b \in (-4;4)$

Answer 2

Данное уравнение является квадратным относительно переменной 3^x. Для того чтобы уравнение не имело корней, его дискриминант должен быть отрицательным:

D = (b^2 + 6)^2 - 4 * 9 * (-b^2 + 16) < 0

Раскроем скобки и упростим выражение:

b^4 + 12b^2 + 36 - 4b^2 + 144 < 0

b^4 + 8b^2 + 180 < 0

Данное уравнение можно решить с помощью подстановки. Заметим, что левая часть уравнения всегда положительна при любом значении b, поскольку b^4, 8b^2 и 180 являются положительными числами. Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

Итак, мы можем заключить, что уравнение 9^x + (b^2 + 6)3^x - b^2 + 16 = 0 не имеет корней при любом значении b.