Question

Докажите что 117^3-4^9 кратно 53

Answer 1

117^3-4^9=(117-4^3)(117^2+117*4^6+4^6)=53*(.......) Первый множитель кратен 53 

Answer 2

Для доказательства того, что $117^3 - 4^9$ кратно 53, мы можем воспользоваться теоремой об остатках.

Согласно этой теореме, если два числа дают один и тот же остаток при делении на некоторое число, то разность этих чисел будет кратна этому числу.

Для начала, найдем остаток от деления $117$ и $4$ на $53$:

$117 \equiv 11 \pmod{53}$

$4^9 = (2^2)^9 = 2^{18} = 2^{16} \cdot 2^2 \equiv 31 \cdot 4 \equiv 123 \pmod{53}$

Теперь мы можем вычислить остаток от выражения $117^3 - 4^9$ при делении на $53$:

$117^3 - 4^9 \equiv 11^3 - 123 \pmod{53}$

$11^3 = 121 \cdot 11 \equiv 15 \cdot 11 \equiv 38 \pmod{53}$

$117^3 - 4^9 \equiv 38 - 123 \equiv -85 \pmod{53}$

Так как $-85$ кратно $53$, то $117^3 - 4^9$ также кратно $53$, что и требовалось доказать.