Question

Решите логарифмическое уравнение: (Десятичный логарифм x-1) + (десятичный логарифм x+1) = (десятичный логарифм 2)

Answer 1

ОДЗ:    x-1>0; x+1>0 ----->   x>1

lg((x-1)*(x+1)) =lg2
lg(x²-1) =lg2
x²-1=2
x²=3
x=+√3

Answer 2

Начнем с использования свойств логарифмов:

log(a*b) = log(a) + log(b)

log(a/b) = log(a) - log(b)

Применим эти свойства, чтобы объединить левую часть уравнения:

log((x-1)*(x+1)) = log(x^2 - 1)

Теперь уравнение имеет вид:

log(x^2 - 1) = log(2)

Применим обратную функцию к обеим сторонам:

x^2 - 1 = 10^log(2) = 2

Решим это уравнение для x:

x^2 = 3

x = ±√3

Таким образом, решениями исходного уравнения являются x = √3 и x = -√3. Проверим их подстановкой:

log(√3 - 1) + log(√3 + 1) = log(2)

log(-√3 - 1) + log(-√3 + 1) = log(2)

Оба равенства верны, поэтому x = √3 и x = -√3 являются корнями данного уравнения.