Question

Разность квадратов двух двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами, равна 693. Найдите эти цисла.

Answer 1

10a+b - первое число, где а - первая цифра, b - вторая цифра.
10b+a - второе число,  где b - первая цифра, a - вторая цифра.

100a^2+20ab+b^2-100b^2-20ab-a^2=693
100a^2-100b^2+b^2-a^2=693
100(a^2-b^2)-(a^2-b^2)=693
99(a^2-b^2)=693
(a-b)(a+b)=7
решение в целых числах
1) a-b=7 и a+b=1 - невозможно
2) a-b=1, a+b=7, тогда a=b+1, 2b+1=7, b=3, a=4

Числа 43 и 34.

Answer 2

Пусть двузначное число, записанное одними и теми же цифрами, равно xy. Тогда по условию задачи у нас есть следующее уравнение:

(10x + y)^2 - (10y + x)^2 = 693

Раскроем квадраты:

(100x^2 + 20xy + y^2) - (100y^2 + 20xy + x^2) = 693

Упростим:

100x^2 + 20xy + y^2 - 100y^2 - 20xy - x^2 = 693

99x^2 - 99y^2 = 693

x^2 - y^2 = 7

Мы знаем, что разность квадратов двух чисел может быть представлена в виде (x+y)(x-y), поэтому:

(x + y)(x - y) = 7

Так как x и y являются одними и теми же цифрами, то возможны следующие комбинации для (x + y) и (x - y):

(x + y) = 7, (x - y) = 1 или (x + y) = -7, (x - y) = -1

Решим эти две системы уравнений:

1. (x + y) = 7, (x - y) = 1

Решая эту систему, мы получаем x = 4 и y = 3.

2. (x + y) = -7, (x - y) = -1

Решая эту систему, мы получаем x = -4 и y = -3.

Итак, двузначные числа, записанные одними и теми же цифрами, равны 43 и 34.