Question

Найти наибольшее значение функции

Answer 1

$y = \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x^2 + x + 1 } = \dfrac{x^2 + x + 1 + x }{x^2 + x + 1 } = 1 + \dfrac{x}{x^2 + x + 1 }$

$y' = 1' + \bigg ( \dfrac{x}{x^2 + x + 1 } \bigg )' = \dfrac{x'(x^2 + x + 1) -(x^2 + x + 1)'x}{(x^2 + x + 1 )^2} = \\ \\ =\dfrac{x^2 + x + 1 - x(2x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2 } = \dfrac{x^2 + x + 1 - 2x^2 - x^2}{(x^2 + x + 1)^2} = \dfrac{1 - x^2}{(x^2 + x + 1)^2}$

y' ≥ 0
Знаменатель сразу убираем, т.к. он всегда принимает положительные значения ((x² + x + 1) > 0 при всех x).
1 - x² ≥ 0
(x - 1)(x - 1) ≤ 0
  убывает       -1    возрастает        1   убывает
--------------------●-------------------------- ●------------------> x
                       min                           max
Значит, x₀ = 1 - точка максимума.
Наибольшее значение функция будет принимать в данной точке:
$y_{max} = \dfrac{(1 + 1)^2}{1 + 1 + 1 } = \dfrac{4}{3}$
Ответ: 4/3. 

Answer 2

Y`=[(2x+2)(x²+x+1)-(2x+1)(x²+2x+1)]/(x²+x+1)²=
=(2x³+2x²+2x+2x²+2x+2-2x³-4x²-2x-x²-2x-1)/(x²+x+1)²=(1-x²)/(x²+x+1)²=0
(1-x)(1+x)=0
x=1  x=-1 
                  _                     +                     _
-----------------------(-1)------------------(1)---------------
                                                      max
ymax=y(1)=(1+2+1)/(1+1+1)=4/3=1 1/3

Answer 3

К сожалению, вы не указали конкретную функцию, для которой нужно найти наибольшее значение. Можете ли вы предоставить функцию или хотя бы её описание? Тогда я смогу помочь вам найти её наибольшее значение.