Question

При каких значениях "a" множество значений функций (y=x^2-2x+a) совпадает с областью определения функции (y=√2x-a). Помогите пожалуйста. Желательно с объяснением.

Answer 1

Найдем область значений функции y=x^2 - 2x + a,
y=x^2 - 2x + a≡ (x^2 -2x + 1) + a -1 ≡ (x-1)^2 + a-1,
Т.к. (x-1)^2 ≥ 0, ⇔ (x-1)^2 + a -1 ≥ a -1.
Область значений первой функции [a-1; +∞).
Найдем область определения функции y=√(2x-a),
2x-a≥0, ⇔ 2x≥a,⇔ x≥ a/2.
Область определения второй функции [ a/2 ; +∞).
Область значений первой функции совпадает с областью определения второй функции при a-1 = a/2.⇔ 2*(a-1)=a, ⇔ 2a-2 = a,⇔ 2a-a = 2,⇔ a=2.
Ответ. а=2.

Answer 2

Для того чтобы найти значения "a", при которых множество значений функции y = x^2 - 2x + a совпадает с областью определения функции y = √(2x - a), нужно сравнить их области значений.

Область значений функции y = x^2 - 2x + a:

1. Поскольку функция имеет вид параболы с положительным коэффициентом при квадратичном члене, она открывается вверх.
2. Минимальное значение функции определяется вершиной параболы, которая находится в точке x = -b/2a = 2/(2*1) = 1.
3. Подставляя x = 1 в уравнение функции, получаем y = 1^2 - 2*1 + a = 1 - 2 + a = -1 + a. Таким образом, минимальное значение функции равно -1 + a.
4. Поскольку парабола открывается вверх, значение функции будет возрастать при увеличении x.

Область значений функции y = √(2x - a):

1. Функция подкоренного выражения 2x - a должна быть неотрицательной (т.к. мы берем квадратный корень).
2. Значит, 2x - a ≥ 0, или x ≥ a/2.

Таким образом, для того чтобы множество значений функции y = x^2 - 2x + a совпадало с областью определения функции y = √(2x - a), необходимо и достаточно, чтобы минимальное значение функции y = x^2 - 2x + a было неотрицательным и x ≥ a/2.

Итак, минимальное значение функции y = x^2 - 2x + a равно -1 + a. Чтобы оно было неотрицательным, должно выполняться условие -1 + a ≥ 0, или a ≥ 1.

Также должно быть x ≥ a/2, что означает, что x должно быть больше или равно половине значения "a".

Итак, значения "a", при которых множество значений функции y = x^2 - 2x + a совпадает с областью определения функции y = √(2x - a), это a ≥ 1 и x ≥ a/2.