Question

Докажите, что выражение х^2-4х+5 принимает положительные значения при всех значениях х.

Answer 1

Должны выполняться два условия: старший коэффициент положительный и дискриминант отрицательный.

1. а=1 - положительный.

2. Д=16-20=-4 - отрицательный.

Answer 2

Выражение является описанием параболы, ветви которой направлены вверх (так как a > 0). Решим дискриминант:

x² - 4x + 5 = 0

D = b² - 4ac = 16 - 20 = -4

Так как дискриминант отрицательный и корней данного квадратного уравнения не существует, то пересечения параболы с осями Ox и Oy также отсутствуют.

Answer 3

Давайте рассмотрим выражение $x^2 - 4x + 5$ и покажем, что оно принимает положительные значения при всех значениях $x$.

Для начала, давайте посмотрим на график этой квадратичной функции. График квадратичной функции имеет форму параболы, которая либо открывается вверх, либо вниз, в зависимости от знака коэффициента при $x^2$.

У нас есть выражение $x^2 - 4x + 5$, и чтобы определить его форму, нужно рассмотреть коэффициент при $x^2$, который равен 1. Так как это положительное число, то парабола открывается вверх.

Для нахождения вершины параболы (точки экстремума) можно воспользоваться формулой $x = -\frac{b}{2a}$, где $a$ и $b$ - коэффициенты при $x^2$ и $x$ соответственно.

В нашем случае $a = 1$ и $b = -4$, поэтому вершина параболы будет находиться в точке $x = -\frac{-4}{2(1)} = 2$.

Теперь давайте посмотрим, какие значения принимает функция при $x = 2$:

$f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$.

Таким образом, мы видим, что при $x = 2$ функция принимает положительное значение (1).

Теперь мы можем использовать эту информацию для доказательства того, что $x^2 - 4x + 5$ принимает положительные значения при всех значениях $x$.

Поскольку парабола открывается вверх и имеет вершину в точке $(2, 1)$, она будет располагаться выше оси $x$ (где $y > 0$) для всех значений $x$.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что выражение $x^2 - 4x + 5$ принимает положительные значения при всех значениях $x$.