Question

Найдите общий вид первообразной y=2 sin x/4 cos x/4

Answer 1

Y = 2 sin(\frac{x}{4}) cos(\frac{x}{4})

Answer 2

Для нахождения общего вида первообразной функции y = 2sin(x/4)cos(x/4) можно воспользоваться методом интегрирования по частям. Для удобства обозначим sin(x/4) как u и cos(x/4) как dv. Тогда производная от u будет du = (1/4)cos(x/4)dx, а производная от dv будет dv = -(1/4)sin(x/4)dx. Применяя формулу интегрирования по частям ∫u dv = uv - ∫v du, получаем:

∫2sin(x/4)cos(x/4)dx = -2cos(x/4)sin(x/4) - ∫(-2cos(x/4)sin(x/4))(1/4)cos(x/4)dx

Далее можно упростить этот интеграл, используя тригонометрические тождества. При этом, при раскрытии скобок, внимательно следите за знаками. Раскрывая скобки и упрощая, получаем:

∫2sin(x/4)cos(x/4)dx = -2cos(x/4)sin(x/4) - (1/2)∫sin^2(x/4)dx

Используя тригонометрическое тождество sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2, получаем:

∫2sin(x/4)cos(x/4)dx = -2cos(x/4)sin(x/4) - (1/2)∫(1 - cos(2x/4))/2 dx

Упрощая выражение ещё раз, получаем:

∫2sin(x/4)cos(x/4)dx = -2cos(x/4)sin(x/4) - (1/4)∫(1 - cos(x/2))dx

Выполняя интегрирование оставшегося интеграла ∫(1 - cos(x/2))dx, получаем:

∫2sin(x/4)cos(x/4)dx = -2cos(x/4)sin(x/4) - (1/4)(x - 2sin(x/2)) + C

где C - произвольная постоянная. Итак, общий вид первообразной функции y = 2sin(x/4)cos(x/4) равен:

F(x) = -2cos(x/4)sin(x/4) - (1/4)(x - 2sin(x/2)) + C