Question

Помогите решить уравнения 1)2 cos²x - sin²x=-1 2)2sin²x+cos²x+3sinx*cosx=3 3)4sinx+cosx=4

Answer 1

1. 2(1-sin²x)-sin²x+1=0
2-2sin²x-sin²x+1=0
-3sin²x+3=0
sin²x=1
sinx=1   sinx=-1
x1=+π/2+2πn, n∈Z
x2=-π/2+2πn, n∈Z

Answer 2

Давайте решим каждое уравнение по отдельности.

1. 2cos²x - sin²x = -1:

Для начала, заметим, что левая часть уравнения может быть переписана с использованием формулы двойного угла:

2cos²x - sin²x = 2cos²x - (1 - cos²x) = 2cos²x - 1 + cos²x = 3cos²x - 1.

Теперь уравнение принимает вид:

3cos²x - 1 = -1.

Добавим 1 к обеим сторонам:

3cos²x = 0.

Разделим обе стороны на 3:

cos²x = 0.

Так как cos²x не может быть отрицательным числом, получаем:

cosx = 0.

Таким образом, решение уравнения 2cos²x - sin²x = -1 это x = π/2 + kπ, где k - целое число.

2. 2sin²x + cos²x + 3sinx*cosx = 3:

Давайте перепишем это уравнение с использованием формулы двойного угла для cos(2x):

2(1 - cos²x) + cos²x + 3sinx*cosx = 3.

Раскроем скобки и упростим:

2 - 2cos²x + cos²x + 3sinx*cosx = 3,

2cos²x + 3sinx*cosx = 1.

Мы знаем, что sin(2x) = 2sinxcosx, поэтому можем заменить sinx*cosx в уравнении:

2cos²x + (3/2)sin(2x) = 1.

Теперь заменим cos²x на 1 - sin²x:

2(1 - sin²x) + (3/2)sin(2x) = 1,

2 - 2sin²x + (3/2)sin(2x) = 1,

-2sin²x + (3/2)sin(2x) = -1.

Домножим уравнение на -2 для упрощения:

4sin²x - 3sin(2x) = 2.

С помощью формулы двойного угла для sin(2x) = 2sinxcosx, заменим sin(2x) в уравнении:

4sin²x - 3(2sinxcosx) = 2,

4sin²x - 6sinxcosx = 2.

Теперь у нас есть уравнение, содержащее только sinx и cosx. Мы можем заменить sinx на √(1 - cos²x) (используя тригонометрическую тождественную зависимость) и решить его только с использованием cosx:

4(1 - cos²x) - 6cosx√(1 - cos²x) = 2,

4 - 4cos²x