Question

Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает 1. Найти вероятность того, что сумма х+у будет не больше 1, а произведение xу не меньше 0.09

Answer 1

Эта задача на геометрическую вероятность....

Найдем для начала площадь заштрихованной фигуры:

$\sf S=\displaystyle \int\limits^{0.9}_{0.1}{\bigg(1-x-\frac{0.09}{x}\bigg)} \, dx=\bigg(x-\frac{x^2}{2}-0.09\ln x\bigg)\bigg|^{0.9}_{0.1}=0.9-\frac{0.81}{2}-\\ \\ -0.09\ln0.9-0.1+\frac{0.01}{2}+0.09\ln 0.1=0.8-0.4+0.09\ln\frac{0.1}{0.9}=\\ \\ =0.4+0.09\cdot(-2)\cdot \ln 3=0.4-0.18\ln 3$

Вероятность того, что сумма х+у будет не больше 1, а произведение ху не меньше 0,09, равна:

$\sf \displaystyle P=\frac{S}{L\left([0;1]\times [0;1]\right)}=\frac{0.4-0.18\ln 3}{1}=0.4-0.18\ln 3\approx 0.2$

Answer 2

Чтобы найти вероятность того, что сумма x + y будет не больше 1, а произведение x * y не меньше 0.09, нужно рассмотреть возможные значения x и y и определить их вероятности.

Дано:

• x и y — два положительных числа, каждое из которых не превышает 1.

Мы можем рассмотреть несколько случаев:

1. Если x и y оба меньше 0.3 (так как sqrt(0.09) ≈ 0.3), то сумма x + y не может быть больше 1, а произведение x * y уже не меньше 0.09. Вероятность этого случая равна площади квадрата со стороной 0.3, то есть 0.3 * 0.3 = 0.09.

2. Если одно из чисел x или y больше или равно 0.3, а другое меньше 0.3, то сумма x + y может быть больше 1. В этом случае произведение x * y должно быть не меньше 0.09. Для определения вероятности этого случая, нам нужно вычислить площадь прямоугольного треугольника, образованного отрезками [0.3, 0.3] и [0, 1] на координатной плоскости. Площадь такого треугольника равна (0.7 * 0.7) / 2 = 0.245.

Таким образом, суммируя вероятности из двух случаев, получаем итоговую вероятность:

Вероятность = 0.09 + 0.245 = 0.335.

Итак, вероятность того, что сумма x + y будет не больше 1, а произведение x * y не меньше 0.09, составляет 0.335 или 33.5%.