Question

Найти придел Lim (x -> 0) ((1-cos2x)/(x^2))

Answer 1

(1-cos2x)/(x^2)=(2(sin x)^2) / (x^2)=2*(sin x / x)^2 (косинус двойного угла)

lim x->0 ... = lim (x->0)  2 (sin x / x)^2 = 2 (lim (sin x / x))^2=2 (предел произведения, первый замечательный предел)

Ответ: 2

Answer 2

Для нахождения предела данной функции, воспользуемся алгебраическими преобразованиями и известными пределами.

Используем тригонометрическое тождество: cos(2x) = 1 - 2sin^2(x).

Тогда выражение в числителе становится: 1 - cos(2x) = 1 - (1 - 2sin^2(x)) = 2sin^2(x).

Теперь выражение функции принимает вид: (2sin^2(x)) / (x^2).

Мы можем разложить это выражение на два множителя: 2 * (sin(x) / x) * (sin(x) / x).

Первый множитель, sin(x) / x, имеет известный предел при x -> 0 и равен 1.

Таким образом, предел функции сводится к пределу второго множителя: (1) * (sin(x) / x).

Так как предел sin(x) / x при x -> 0 равен 1, и первый множитель равен 1, предел всей функции равен 1.

Итак, Lim (x -> 0) ((1 - cos(2x)) / (x^2)) = 1.