Question

Исследуйте и постройте график функции y=(x^3-x)/(x^2+|x| ). Сколько решений имеет уравнение y=b в зависимости от b?

Answer 1

$y=\frac{x^3-x}{x^2+|x|}=\frac{x(x+1)(x-1)}{|x|(|x|+1)}$

Если $x>0$, то выходит $y=x-1, x>0$

Если $x=0$, то уравнение не имеет смысла

Если $x$, то выходит $y=x+1, x$

Ответ: b<-1 - 1 решение

b=-1 - нет решений

-1<b<1 - 2 решения

b=1 - нет решений

b>1 - 1 решение

Answer 2

Для начала давайте исследуем функцию y = (x^3 - x) / (x^2 + |x|).

Прежде чем построить график, заметим, что знаменатель функции (x^2 + |x|) всегда положителен, так как является суммой неотрицательных величин. Поэтому при исследовании функции мы можем сосредоточиться на поведении числителя (x^3 - x).

Давайте найдем точки, где числитель равен нулю: x^3 - x = 0 x(x^2 - 1) = 0

Таким образом, мы имеем две критические точки: x = 0 и x = ±1.

Теперь проанализируем знак числителя в интервалах между этими критическими точками:

1. Когда x < -1: Подставляя значение x < -1 в числитель, получаем отрицательное число: x^3 - x < 0

2. Когда -1 < x < 0: Подставляя значение -1 < x < 0 в числитель, получаем положительное число: x^3 - x > 0

3. Когда 0 < x < 1: Подставляя значение 0 < x < 1 в числитель, получаем отрицательное число: x^3 - x < 0

4. Когда x > 1: Подставляя значение x > 1 в числитель, получаем положительное число: x^3 - x > 0

Теперь мы можем построить график функции y = (x^3 - x) / (x^2 + |x|):

luaCopy code
     ^
     |
    1|      /---\
     |    /
     |  /
    0|-------/\-------
     |      |
     |      |
   -1|______|___________
        -1  0   1

Теперь рассмотрим уравнение y = b и найдем, сколько решений оно имеет в зависимости от значения b.

1. Если b > 1 или b < -1, то график функции y = (x^3 - x) / (x^2 + |x|) не пересекает горизонтальную линию y = b, и уравнение y = b не имеет решений.

2. Если -1 < b < 1, то график функции y = (x^3 - x) / (x^2 + |x|) пересекает горизонтальную линию y = b дважды, один раз в интервале -1 < x < 0 и еще один раз в интервале 0 < x < 1. Следовательно, уравнение y = b имеет два решения.

3. Если b = 1