Question

если от числителя и знаменателя дроби отнять число два, то дробь уменьшится на одну восьмую (1/8), если же прибавить по единице, то дробь увеличится на одну двадцать четвертую (1/24).Нацдите данную дробь.

Answer 1

Пусть дробь $\frac{x}{y}$
Если от числителя и знаменателя дроби отнять число два, то дробь уменьшится на одну восьмую :
$\frac{x-2}{y-2}+ \frac{1}{8}= \frac{x}{y}$
Если к  числителю и знаменателю прибавить по единице, то дробь увеличится на одну двадцать четвертую:$\frac{x+1}{y+1}- \frac{1}{24}= \frac{x}{y}$
Решаем систему двух уравнений:
$\left \{ {{\frac{x-2}{y-2}+ \frac{1}{8}= \frac{x}{y}} \atop {\frac{x+1}{y+1}- \frac{1}{24}= \frac{x}{y} }} \right. \Rightarrow \left \{ {{\frac{8y(x-2)+y(y-2)-8x(y-2)}{8y(y-2)}=0} \atop {\frac{24y(x+1)-y(y+1)-24x(y+1)}{24y(y+1)}=0}} \right.$
Так как у≠0,у-2≠0,у+1≠0, то
$\left \{ {{8y(x-2)+y(y-2)-8x(y-2)=0} \atop {24y(x+1)-y(y+1)-24x(y+1)=0}} \right.$
$\left \{ {{-18y+y ^{2} +16x=0} \atop {+23y-y ^{2} -24x=0}} \Rightarrow \left \{ {{-18y+y ^{2} +16x=0} \atop {5y-8x=0}} \left \{ {{-18\cdot 1,6x+(1,6x) ^{2} +16x=0} \atop {y=1,6x}}$
Решаем первое уравнение:
-28,8х+2,56х²+16х=0
или
2,56х-12,8=0
х=5
у=1,6·5=8
Ответ $\frac{5}{8}$

Answer 2

Давайте предположим, что исходная дробь равна x/y.

Условие гласит, что если от числителя и знаменателя дроби отнять число два, то дробь уменьшится на 1/8. Это можно записать следующим образом:

(x - 2)/(y - 2) = x/y - 1/8

Также условие гласит, что если прибавить к числителю и знаменателю дроби по единице, то дробь увеличится на 1/24. Это можно записать следующим образом:

(x + 1)/(y + 1) = x/y + 1/24

У нас получились два уравнения:

(x - 2)/(y - 2) = x/y - 1/8 ................. (1) (x + 1)/(y + 1) = x/y + 1/24 ................. (2)

Давайте решим эту систему уравнений. Подставим (1) в (2):

(x + 1)/(y + 1) = ((x - 2)/(y - 2)) + 1/24

Распространим дроби:

(x + 1)/(y + 1) = (x - 2 + (y - 2)/(y - 2))/((y - 2)/1) + 1/24

(x + 1)/(y + 1) = (x - 2 + 1)/(y - 2) + 1/24

Упростим:

(x + 1)/(y + 1) = (x - 1)/(y - 2) + 1/24

Перемножим обе части уравнения на (y + 1)(y - 2):

(y + 1)(x + 1) = (y + 1)(x - 1)/(y - 2) + 1/24(y + 1)(y - 2)

xy + x + y + 1 = (xy - y + x - 1)/(y - 2) + (y + 1)/24(y - 2)

xy + x + y + 1 = (xy - y + x - 1)/(y - 2) + (y + 1)/24y - 48

Выполним умножение:

xy + x + y + 1 = (xy - y + x - 1 + (y + 1))/(y - 2) + (y + 1)/24y - 48

xy + x + y + 1 = (xy - y + x - 1 + y + 1)/(y - 2) + (y + 1)/24y - 48

Сократим подобные слагаемые:

xy + x + y + 1 = (xy + x + y)/(y - 2) + (y + 1)/24y - 48

Вычтем (xy + x + y) с обеих сторон уравнения:

1 = (y + 1)/24y - 48

Перенесем 1 на другую сторону у