Question

Про натуральные числа a и b известно что число 2015a^2-40ab-b^2 делится на 14. Какое наименьшее значение может принимать разность a^2-b^2 ?

Answer 1

Ответ фоткан...................

Answer 2

Чтобы найти наименьшее значение разности $a^2 - b^2$, необходимо найти наименьшие значения $a$ и $b$, удовлетворяющие условию деления числа $2015a^2 - 40ab - b^2$ на 14.

Для начала рассмотрим условие деления числа $2015a^2 - 40ab - b^2$ на 14. Чтобы это произошло, число $2015a^2 - 40ab - b^2$ должно быть кратно 14, то есть делиться на 2 и на 7.

1. Деление на 2: Чтобы число $2015a^2 - 40ab - b^2$ делилось на 2, последний член $b^2$ должен быть четным. Это означает, что $b$ также должно быть четным числом.

2. Деление на 7: Чтобы число $2015a^2 - 40ab - b^2$ делилось на 7, его остаток при делении на 7 должен быть равен нулю. Мы можем переписать это условие следующим образом: $2015a^2 - 40ab - b^2 \equiv 0 \pmod{7}$

Разложим это уравнение на две части:

$2015a^2 \equiv 40ab + b^2 \pmod{7}$ $3a^2 \equiv 5ab + b^2 \pmod{7}$

Поскольку мы ищем наименьшие значения $a$ и $b$, начнем с наименьших возможных значений для $a$ и $b$, равных 1.

Подставляя значения $a = 1$ и $b = 2$ в уравнение, получим: $3(1)^2 \equiv 5(1)(2) + (2)^2 \pmod{7}$ $3 \equiv 10 + 4 \pmod{7}$ $3 \equiv 14 \pmod{7}$ $3 \equiv 0 \pmod{7}$

Таким образом, $a = 1$ и $b = 2$ являются решением уравнения.

Теперь найдем разность $a^2 - b^2$ для этих значений: $(1)^2 - (2)^2 = 1 - 4 = -3$

Таким образом, наименьшее значение разности $a^2 - b^2$ равно -3.