Question

двое рабочих при совместной работе выполняют задание за 6 часов. Если задание выполняет только первый рабочий, то ему понадобится на 5 часов больше, чем при выполнении этого задания только вторым рабочим. Сколько времени понадобиться каждому рабочему для выполнения задания?

Answer 1

Пусть второй рабочий самостоятельно выполнит работу за $x$ часов, тогда первый рабочий выполнит за $(x+5)$ часов. Производительность труда первого рабочего равна $\dfrac{1}{x+5}$, а производительность труда второго рабочего - $\dfrac{1}{x}$. Зная, что при совместной работе их производительность труда равна 1/6, составим уравнение:

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+5}=\dfrac{1}{6}\\ \\ 6(x+5)+6x=x(x+5)~~~~~~\bigg|\cdot 6x(x+5)\ne0\\ \\ 6x+30+6x=x^2+5x\\ \\ x^2-7x-30=0$

По теореме Виета

$x_1=-3$ — не удовлетворяет условию;

$x_2=10$ часов понадобиться второму рабочему;

10 + 5 = 15 часов понадобиться первому рабочему.

Ответ: 15 часов и 10 часов.

Answer 2

Пусть вся работа 1, если задание выполняет только второй, /пусть его время х /час./, тогда время первого (х+5)/(час), а производительность первого 1/(х+5),  второго 1/х

Составим и решим уравнение.

1/х+1/(х+5)=1/6

Приведя к общему знаменателю обе части уравнения. получим

6*(х+5+х)=х²+5х; 12х+5=х²+5х; х²-7х-30=0, по теореме, обратной теореме Виета, х=-3- не подходит по смыслу задачи, время не может быть отрицательным.

х=10; Значит, на выполнение задания второму понадобится 10 часов, тогда первому понадобится 10+5=15 /часов/

Ответ 15 часов, 10 часов.

Answer 3

Пусть первый рабочий выполняет задание за x часов, а второй рабочий выполняет задание за y часов.

Из условия задачи, мы знаем, что когда они работают вместе, они выполняют задание за 6 часов. То есть их совместная скорость работы составляет 1/6 задания в час:

1/x + 1/y = 1/6 ----(уравнение 1)

Также условие гласит, что если первый рабочий работает самостоятельно, ему требуется на 5 часов больше, чем второму рабочему. То есть уравнение будет выглядеть следующим образом:

x = y + 5 ----(уравнение 2)

Теперь мы имеем систему из двух уравнений (уравнение 1 и уравнение 2). Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения x и y.

Решая систему уравнений, мы получаем:

1/(y+5) + 1/y = 1/6

Умножим оба члена уравнения на 6y(y+5), чтобы избавиться от знаменателей:

6y + 6(y+5) = y(y+5)

6y + 6y + 30 = y^2 + 5y

12y + 30 = y^2 + 5y

y^2 - 7y - 30 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Разложим его на множители:

(y - 10)(y + 3) = 0

Отсюда получаем два возможных значения для y: y = 10 или y = -3.

Из условия задачи следует, что время должно быть положительным, поэтому отбросим значение y = -3.

Таким образом, получаем, что y = 10.

Используя уравнение 2, можем найти x:

x = y + 5 = 10 + 5 = 15

Таким образом, первому рабочему потребуется 15 часов, а второму рабочему - 10 часов для выполнения задания.