Question

1) [x-1]+[x-2]<_3 розвязати нерівність [-це подуль <_- менш рівне помогите!!!!!!!!!!! 2) x2-2[x]<_-(3x+6) - визначити кількість цілих розвязків нерівності

Answer 1

1) |x-1|+|x-2|≤3
Модуль равен нулю при x=1  и  x=2   ⇒
-∞_______________1_______________2________________+∞
x∈(-∞;1]
-x+1-x+2≤3
-2x+3≤3
2x≥0
x≥0  ⇒
x∈[0;1]
x∈[1;2]
x-1-x+2≤3
1≤3   ⇒
x∈[1;2]
x∈[2;+∞)
x-1+x-2≤3
2x-3≤3
2x≤6
x≤3   ⇒
x∈[2;3].
Ответ: x∈[0;3].
2) x²-2|x|≤-(3x+6)
Раскрываем модуль и получаем систему уравнений:
x²-2x≤-3x-6  x²+x+6≤0  D=-23  ⇒  решения нет.
x²+2x≤-3x-6  x²+5x+6≤0  D=1  x₁=-2   x₂=-3  (x+2)(x+3)≤0 
-∞_______+______-3________-_______-2________+________+∞
x∈[-3;-2].
Ответ: x∈[-3;-2].

Answer 2

1. Давайте розв'яжемо нерівність почергово:

[x - 1] + [x - 2] ≤ 3

Спочатку розглянемо перший модуль [x - 1]:

Якщо x - 1 ≥ 0, тобто x ≥ 1, то [x - 1] = x - 1. Тоді нерівність стає (x - 1) + [x - 2] ≤ 3.

Якщо x - 1 < 0, тобто x < 1, то [x - 1] = -(x - 1) = 1 - x. Тоді нерівність стає (1 - x) + [x - 2] ≤ 3.

Тепер розглянемо другий модуль [x - 2]:

Якщо x - 2 ≥ 0, тобто x ≥ 2, то [x - 2] = x - 2. Тоді для першого випадку нерівність стає (x - 1) + (x - 2) ≤ 3.

Якщо x - 2 < 0, тобто x < 2, то [x - 2] = -(x - 2) = 2 - x. Тоді для другого випадку нерівність стає (1 - x) + (2 - x) ≤ 3.

Розглянемо обидва випадки:

1. x ≥ 1: (x - 1) + (x - 2) ≤ 3 2x - 3 ≤ 3 2x ≤ 6 x ≤ 3

2. x < 1: (1 - x) + (x - 2) ≤ 3 3 - x ≤ 3 -x ≤ 0 x ≥ 0

Отже, розв'язком нерівності є x ≤ 3 та x ≥ 0.

2. Давайте розв'яжемо нерівність почергово:

x^2 - 2[x] ≤ -(3x + 6)

Для початку розглянемо цілу частину [x]:

[x] представляє найбільше ціле число, яке не перевищує x.

Тепер розглянемо два випадки:

1. Ціла частина [x] менше за x: В цьому випадку [x] = [x] - 1 (ціла частина менша на 1).

x^2 - 2([x] - 1) ≤ -(3x + 6) x^2 - 2[x] + 2 ≤ -(3x + 6) x^2 - 2x + 2 ≤ -3x - 6 x^2 + x + 8 ≤ 0

2. Ціла частина [x] дорівнює x: В цьому випадку [x]