Question

Знайдіть чотири числа, які утворюють арифметичну прогресію та мають таку властивість: якщо від другого числа відняти 2, а до четвертого додати 14, то буде отримано геометричну прогресію

Answer 1

a; a+d; a+2d; a+3d - арифметическая прогрессия

a; a+d-2; a+2d; a+3d+14 -  геометрическая прогрессия, значит квадрат каждого члена прогрессии, начиная со второго,  равен произведению двух соседних

поэтому

(a+d-2)²=a(a+2d)

(a+2d)²=(a+d-2)(a+3d+14)

Решаем систему двух уравнений:

{a²+d²+4+2ad-4a-4d=a²+2ad

{a²+4ad+4d²=a²+ad-2a+3ad+3d²-6d+14a+14d-28

упрощаем

{d²=4a+4d-4

{d²=12a+8d-28⇒

4a+4d-4=12a+8d-28

выражаем d через а

d=6-2a

и подставляем в первое уравнение:

(6-2a)²=4a+4d-4

a²-5a+4=0

a=1  или  a=4

d=4  или  d=-2

и обе прогрессии

при а=1; d=4

1;5;9;13

1;3;9;27

при а=4; d=-2

4; 2; 0; -2

4; 2+2;0; -2+14 - не удовлетворяет смыслу задачи

Answer 2

Для того, щоб знайти таку арифметичну прогресію, де друге число віднімається 2, а четверте число додається 14, потрібно виконати наступні кроки:

1. Позначимо перше число у прогресії як "а".
2. За умовою, друге число від першого віднімається 2. Тому друге число буде "а - 2".
3. Третє число у прогресії буде наступним після другого числа. Тому третє число буде "а - 2 + d", де "d" - різниця прогресії.
4. Четверте число у прогресії буде наступним після третього числа. Тому четверте число буде "(а - 2 + d) + d = а + 2d - 2".
5. За умовою, якщо до четвертого числа додати 14, отримаємо геометричну прогресію. Отже, "(а + 2d - 2) + 14" має бути членом геометричної прогресії.

Отже, ми отримали дві умови:

1. (а + 2d - 2) + 14 - а - 2 = r, де "r" - спільний знаменник геометричної прогресії.
2. а + 2d - 2 - (а - 2) = d.

Розкладемо першу умову:

а + 2d + 12 - а - 2 = r, 2d + 10 = r.

Підставимо другу умову:

а + 2d - 2 - (а - 2) = d, 4 = d.

Отже, ми отримали, що різниця арифметичної прогресії дорівнює 4.

Тепер можна знайти числа у прогресії:

1. а = перше число.
2. друге число = а - 2.
3. третє число = а + 2d - 2 = а + 2(4) - 2 = а + 8 - 2 = а + 6.
4. четверте число = а + 2d - 2 + 14 = а + 2(4) - 2 + 14 = а + 8 - 2 + 14 = а + 20.

Отже, чотири числа утворюють арифметичну прогресію та мають властивість, що я