Question

Довести нерівність (a³-1)(a-1) ≥ 3a(a²-2a+1)

Answer 1

Знайдемо різницю (a³-1)(a-1) - 3a(a²-2a+1) = (a²+ a +1)(a-1)² - 3a(a-1)² =

= (a-1)²(a²+ a + 1 - 3a) = (a-1)²(a² + 1 - 2a) = (a-1)²(a-1)² = (a-1)⁴.

Оскільки (a-1)⁴ ≥ 0, то (a³-1)(a-1) - 3a(a²-2a+1) ≥ 0. Звідси маємо, що зменшуване цієї різниці більше за від'ємник, тобто (a³-1)(a-1) ≥ 3a(a²-2a+1), що й треба було довести.

Answer 2

Давайте розкриємо дужки з обох боків нерівності і спростимо вираз:

(a³ - 1)(a - 1) ≥ 3a(a² - 2a + 1)

Розкриваємо дужки:

a⁴ - a³ - a + 1 ≥ 3a³ - 6a² + 3a

Переносимо всі члени в одну частину:

a⁴ - a³ - a + 1 - 3a³ + 6a² - 3a ≥ 0

Посортуємо члени за спаданням степеня a:

a⁴ - 4a³ + 6a² - 4a + 1 ≥ 0

Тепер ми можемо спростити цей вираз, використовуючи теорію коефіцієнтів і коренів:

(a - 1)⁴ ≥ 0

Згідно з теорією, цей вираз завжди буде не меншим за нуль. Тобто, нерівність

(a³ - 1)(a - 1) ≥ 3a(a² - 2a + 1)

справедлива для будь-якого значення a.

Отже, нерівність доведена.