Question

Помогите решить систему квадратных неравенств ( 8-2х≥x^2 ( (x+2)^2>0

Answer 1

$\begin {cases} x^2+2x-8 \leq 0 \\ (x+2)^2\ \textgreater \ 0 \end {cases} \\ \begin {cases} (x+4)(x-2) \leq 0 \\ x \neq -2 \end {cases} \\ \begin {cases} x \in [-4;2] \\ x \neq -2 \end {cases} \ \Rightarrow x \in [-4;-2) \cup (-2;2]$
Ответ:  $[-4;-2) \cup (-2;2]$

Answer 2

Давайте решим каждое неравенство по отдельности.

1. 8 - 2x ≥ x^2

Для начала, перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

x^2 + 2x - 8 ≥ 0

Теперь найдём корни этого уравнения, равные x = -4 и x = 2.

Таким образом, у нас имеется три интервала: (-бесконечность, -4], (-4, 2], и [2, +бесконечность).

Чтобы определить знак неравенства в каждом интервале, можно использовать тестовую точку:

Давайте проверим интервал (-бесконечность, -4]: Подставим x = -5: (-5)^2 + 2(-5) - 8 = 25 - 10 - 8 = 7 > 0

Теперь проверим интервал (-4, 2]: Подставим x = 0: 0^2 + 2(0) - 8 = -8 < 0

Наконец, проверим интервал [2, +бесконечность): Подставим x = 3: 3^2 + 2(3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7 > 0

Итак, решением неравенства 8 - 2x ≥ x^2 являются интервалы (-бесконечность, -4] и [2, +бесконечность).

2. (x + 2)^2 > 0

Квадрат любого числа является неотрицательным или равным нулю, поэтому (x + 2)^2 всегда больше или равно нулю. Неравенство (x + 2)^2 > 0 выполняется для всех значений x, кроме x = -2.

Таким образом, решением неравенства (x + 2)^2 > 0 является интервал (-бесконечность, -2) объединённый с интервалом (-2, +бесконечность).

Итак, решение системы квадратных неравенств (8 - 2x ≥ x^2) и ((x + 2)^2 > 0) состоит из интервалов (-бесконечность, -4], [2, +бесконечность) и (-бесконечность, -2) объединённых с интервалом (-2, +бесконечность).