Question

докажите, что если натуральное число делится на 5, остаток равен 3, то при делении квадрата этого же числа остаток равен 4.

Answer 1

Найдем натуральное число которое делится на 5 и остается остаток 3 - например
8/5= 1 и 3 в остатке
8 в квадрате =64 разделить на 5 = 12 и остаток 4
другой пример
18/5=3 и остаток 3
18 в квадрате будет 324
324 разделить на 5 = 64 и 4 в остатке

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение с использованием математической индукции.

Предположение: Если натуральное число делится на 5 и имеет остаток 3, то при делении квадрата этого же числа остаток равен 4.

База индукции: Пусть число k делится на 5 и имеет остаток 3. Тогда k может быть записано в виде k = 5n + 3, где n - некоторое натуральное число.

Квадрат числа k равен k^2 = (5n + 3)^2 = 25n^2 + 30n + 9.

Давайте разделим квадрат k^2 на 5 и рассмотрим остаток: k^2 = 25n^2 + 30n + 9 = 5(5n^2 + 6n + 1) + 4.

Заметим, что остаток при делении k^2 на 5 равен 4.

Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого числа m, т.е. если m делится на 5 и имеет остаток 3, то при делении квадрата m остаток равен 4.

Рассмотрим число m + 5. Мы знаем, что m + 5 делится на 5 и имеет остаток 3, поскольку остаток не меняется при добавлении к числу кратного 5.

(m + 5)^2 = m^2 + 10m + 25.

По предположению индукции, при делении m^2 на 5 остаток равен 4, т.е. m^2 = 5p + 4, где p - некоторое целое число.

(m + 5)^2 = m^2 + 10m + 25 = 5p + 4 + 10m + 25 = 5(p + 2m + 5) + 4.

Заметим, что остаток при делении (m + 5)^2 на 5 также равен 4.

Таким образом, мы доказали утверждение при помощи метода математической индукции. Если натуральное число делится на 5 и имеет остаток 3, то при делении квадрата этого же числа остаток равен 4.