Question

Упростите выражение tg(п+a )ctg(2п-a)+cos2a

Answer 1

$tg( \pi + \alpha )*ctg(2 \pi - \alpha )+cos2 \alpha=tg \alpha *(-ctg \alpha )+cos2 \alpha =$ $=-1+cos2 \alpha=-(cos^2 \alpha +sin^2 \alpha )+cos^2 \alpha -sin^2 \alpha =$ $=-cos^2 \alpha -sin^2 \alpha+cos^2 \alpha -sin^2 \alpha =-2sin^2 \alpha$

P. S.

$tg \alpha * ctg \alpha =1$

$cos^2 \alpha +sin^2 \alpha =1$

$cos2 \alpha =cos^2 \alpha -sin^2 \alpha$

Answer 2

Для упрощения данного выражения, воспользуемся тригонометрическими тождествами.

1. Тождество суммы для тангенса: tg(п + a) = (tgп + tg a) / (1 - tgп * tg a)

2. Тождество разности для котангенса: ctg(2п - a) = -ctg a

3. Тождество двойного угла для косинуса: cos 2a = 2 cos^2 a - 1

Применим эти тождества и упростим выражение:

tg(п + a) ctg(2п - a) + cos 2a = (tgп + tg a) / (1 - tgп * tg a) * -ctg a + 2 cos^2 a - 1

Упростим дальше, заменив tgп на бесконечность (так как tgп = sinп / cosп = бесконечность / -1 = -бесконечность) и использовав тождество cos^2 a = 1 - sin^2 a:

= (-бесконечность + tg a) / (1 + бесконечность * tg a) * -ctg a + 2 (1 - sin^2 a) - 1

Так как ctg a = 1 / tg a, можно упростить:

= (-бесконечность + tg a) / (1 + бесконечность * tg a) * (-1 / tg a) + 2 (1 - sin^2 a) - 1

Далее, сокращаем:

= -1 + tg a / (1 + бесконечность * tg a) - 2 sin^2 a + 2

= tg a / (1 + бесконечность * tg a) - 2 sin^2 a + 1

Итак, упрощенное выражение равно:

tg a / (1 + бесконечность * tg a) - 2 sin^2 a + 1