Question

Вычислите площадь фигуры,ограниченной графиками функции у=4-x^2 и y=2+|x|

Answer 1

Смотри приложенный файл

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 4 - x^2 и y = 2 + |x|, необходимо найти точки их пересечения и определить границы интегрирования.

Начнем с поиска точек пересечения графиков. Поскольку вторая функция содержит модуль, рассмотрим два случая: x >= 0 и x < 0.

Для x >= 0: y = 4 - x^2 y = 2 + x

Приравняем два уравнения: 4 - x^2 = 2 + x

Перенесем все в левую часть: x^2 + x - 2 = 0

Факторизуем это уравнение: (x + 2)(x - 1) = 0

Отсюда получаем два корня: x1 = -2 x2 = 1

Для x < 0: y = 4 - x^2 y = 2 - x

Приравняем два уравнения: 4 - x^2 = 2 - x

Перенесем все в левую часть: x^2 - x - 2 = 0

Факторизуем это уравнение: (x - 2)(x + 1) = 0

Отсюда получаем два корня: x3 = 2 x4 = -1

Итак, у нас есть четыре точки пересечения: (-2, 0), (1, 3), (2, 2), и (-1, 3).

Теперь мы можем определить границы интегрирования. Площадь фигуры можно вычислить как сумму площадей двух треугольников, ограниченных графиками функций.

Первый треугольник имеет основание между x = -2 и x = 1, и высоту от графика y = 2 + |x| до графика y = 4 - x^2. Второй треугольник имеет основание между x = 1 и x = 2, и также высоту от графика y = 2 + |x| до графика y = 4 - x^2.

Таким образом, площадь фигуры будет равна сумме площадей этих двух треугольников:

S = (1/2) * (base1) * (height1) + (1/2) * (base2) * (height2)

Для первого треугольника: base1 = 1 - (-2) = 3 height1 = (4 - (-2)^2) - (2 + |-2|) = 2

Для второго треугольника: base2 = 2 - 1 = 1 height2 = (4 - 2^2) - (