Question

1.Вычислите наиболее рациональным способом: а) (71)^2б) 11^2+22*19+19^22. Представьте в виде многочлена выражение:а) (5х+2y)^2+(5x-2y)^2б) (a+2b)^2-(a+b)^23. Разложите на множители4x^2-4x-4y-y^2-3

Answer 1

1.Вычислите наиболее рациональным способом:

a) 71²=(70+1)²=70²+2·70·1+1²=4 900+140+1=5 041

б) 11²+22·19+19²=11²+2·11·19+19²=(11+19)²=30²=900

 

в обоих случаях использовали формулу сокращённого умножения

(a+b)²=a²+2ab+b²

 

2. Представьте в виде многочлена выражение:

а) (5х+2y)²+(5x-2y)²=(25х²+20xy+4y²)+(25x²-20xy+4y²)=

25х²+20xy+4y²+25x²-20xy+4y²=(25х²+25x²)+(20xy-20xy)+(4y²+4y²)=50x²+8y²

 

б) (a+2b)²-(a+b)²=(a²+4ab+4b²)-(а²+2аb+b²)=a²+4ab+4b²-a²-2ab-b²=

(a²-a²)+(4ab-2ab)+(4b²-b²)=2ab+3b²

 

в обоих случаях использовали формулу сокращённого умножения

(a+b)²=a²+2ab+b²

(a-b)²=a²-2ab+b²

3. Разложите на множители

 4x²-4x-4y-y²-3=(4x²-4x+1)-(у²+4y+4)=(2x-1)²-(y+2)²=((2x-1)+(y+2))((2x-1)-(y+2))=

(2x-1+y+2)(2x-1-y-2)=(2x+y+(-1+2))(2x-y+(-1-2))=(2x+y+1)(2x-y-3)

Answer 2

а) Для вычисления выражения (71)^2 можно использовать метод квадратов двухчленов: (71)^2 = (70 + 1)^2 = (70)^2 + 2 * 70 * 1 + (1)^2 = 4900 + 140 + 1 = 5041

б) Вычислим выражение 11^2 + 22 * 19 + 19^22: 11^2 = 121 22 * 19 = 418 19^22 - это очень большое число, и его точное значение сложно вычислить вручную. Мы можем приближенно оценить его значение, чтобы получить приближенный ответ.

Представим 19^22 как (20 - 1)^22. Используя бином Ньютона, мы можем раскрыть это выражение: (20 - 1)^22 = C(22, 0) * (20^22) * (-1)^0 + C(22, 1) * (20^21) * (-1)^1 + C(22, 2) * (20^20) * (-1)^2 + ...

Обратите внимание, что все слагаемые, начиная со второго, содержат множитель (-1), что делает их отрицательными. Для получения приближенного значения мы можем проигнорировать эти слагаемые и учесть только первое слагаемое, поскольку оно будет преобладать в результате.

Поэтому: 19^22 ≈ (20^22) ≈ 20^22 ≈ 4.096 * 10^28

Теперь можем вычислить итоговое выражение: 11^2 + 22 * 19 + 19^22 ≈ 121 + 418 + 4.096 * 10^28

Окончательный ответ будет зависеть от точности, которую необходимо сохранить при округлении числа 4.096 * 10^28.

а) Выражение (5x + 2y)^2 + (5x - 2y)^2 можно раскрыть с использованием формулы квадрата суммы двух членов и квадрата разности двух членов: (5x + 2y)^2 + (5x - 2y)^2 = (5x)^2 + 2 * (5x) * (2y) + (2y)^2 + (5x)^2 - 2 * (5x) * (2y) + (2y)^2 = 25x^2 + 4xy + 4y^2 + 25x^2 - 4xy + 4y^2 = 50x^2 + 8y^2

б) Выражение (a + 2b)^2 - (a + b)^2 можно раскрыть с использованием формулы квадрата разности двух членов: (a + 2b)^2 - (a + b)^2 = (a^2 + 2ab +