Question

Решить уравнение 3 cos 2x = 4 - 11 cos x

Answer 1

3 · (2cos²x - 1) = 4 - 11cosx
6cos²x + 11cosx - 7 = 0
cosx = t
6t² + 11t - 7 = 0
D = 121 + 168 = 289 = 17²
t = (-11 + 17)/12 = 1/2    или    t = (-11 - 17)/12 = - 28/12
cos x = 1/2                                cos x = - 28/12 -  корней нет
x = π/3 + 2πn
   или 
x = - π/3 + 2πk

Answer 2

Для решения данного уравнения применим тригонометрические тождества.

Используя формулу двойного угла для косинуса (cos 2x = 2 cos^2 x - 1), преобразуем уравнение:

3(2 cos^2 x - 1) = 4 - 11 cos x

Упростим выражение:

6 cos^2 x - 3 = 4 - 11 cos x

Перенесем все термины в левую часть уравнения:

6 cos^2 x + 11 cos x - 7 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos x. Решим его с помощью формулы квадратного корня:

cos x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Где a = 6, b = 11 и c = -7. Подставим значения и решим:

cos x = (-(11) ± √((11)^2 - 4(6)(-7))) / (2(6))

cos x = (-11 ± √(121 + 168)) / 12

cos x = (-11 ± √289) / 12

cos x = (-11 ± 17) / 12

Таким образом, получаем два значения для cos x:

1. cos x = (-11 + 17) / 12 = 6 / 12 = 1/2

2. cos x = (-11 - 17) / 12 = -28 / 12 = -7/3

Теперь найдем соответствующие значения x, используя обратную функцию косинуса:

1. x = arccos(1/2) = π/3 + 2πk, где k - целое число

2. x = arccos(-7/3), но это значение не попадает в область определения обратного косинуса (-1 ≤ x ≤ 1), поэтому это решение недопустимо.

Таким образом, решением уравнения является:

x = π/3 + 2πk, где k - целое число