Question

Найдите производную функции . fx=\frac{7-x^3}{5+x^{2}} , x0=-1 .

Answer 1

$f(x)=\frac{7-x^3}{5+x^{2}} \\ \\ f'(x)= \frac{(7-x^3)'(5+x^2)-(5+x^2)'(7-x^3)}{(5+x^2)^2} = \\ \\ \frac{-3x^2(5+x^2)-2x(7-x^3)}{(5+x^2)^2} = \frac{-3x^4-15x^2-14x+2x^4}{(5+x^2)^2} = \\ \\ \frac{-x^4-15x^2-14x}{(5+x^2)^2} =- \frac{x^4+15x^2+14x}{(5+x^2)^2} \\ \\ f'(-1)=- \frac{1+15-14}{(5+1)^2} =- \frac{2}{36} =- \frac{1}{18}$

Answer 2

Для нахождения производной функции f(x) = (7 - x^3) / (5 + x^2) в точке x₀ = -1, мы можем использовать правило дифференцирования частного функций.

Применяя это правило, мы должны продифференцировать числитель и знаменатель отдельно. Давайте начнем с числителя:

f'(x) = (d/dx)(7 - x^3)

Дифференцируя константу 7, мы получим 0, так как производная постоянной равна нулю.

Дифференцируя -x^3, мы применим правило степенной функции и умножим показатель степени на коэффициент при переменной:

f'(x) = 0 - 3x^2

Теперь продифференцируем знаменатель:

f'(x) = (d/dx)(5 + x^2)

Дифференцируя константу 5, мы получим 0.

Дифференцируя x^2, мы снова применим правило степенной функции и умножим показатель степени на коэффициент при переменной:

f'(x) = 0 + 2x

Теперь мы можем объединить числитель и знаменатель:

f'(x) = (-3x^2) / (5 + x^2) + (2x) / (5 + x^2)

Теперь, чтобы найти производную в точке x₀ = -1, мы подставляем x = -1 в полученную производную функцию:

f'(-1) = (-3(-1)^2) / (5 + (-1)^2) + (2(-1)) / (5 + (-1)^2) = (-3) / (5 + 1) + (-2) / (5 + 1) = -3/6 - 2/6 = -5/6

Таким образом, производная функции f(x) = (7 - x^3) / (5 + x^2) в точке x₀ = -1 равна -5/6.