Question

Докажите что значение выражения (5n+7)^2•(3n+10)^2 При любом натуральном n будет делится на 4

Answer 1

четное число в квадрате всегда делится на 4, так как 2 в квадрате = 4

при нечетном n  (5n + 7) всегда четное

при четном n  (3n + 7) всегда четное

в произведении один из множителей всегда кратен 4 значит и все произведение кратно 4

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, мы можем воспользоваться свойствами арифметики и доказать, что выражение (5n + 7)^2 • (3n + 10)^2 кратно 4 для любого натурального числа n.

Раскроем скобки в данном выражении:

(5n + 7)^2 • (3n + 10)^2 = (25n^2 + 70n + 49) • (9n^2 + 60n + 100)

Для удобства докажем, что каждый из множителей (25n^2 + 70n + 49) и (9n^2 + 60n + 100) делится на 4 отдельно.

1. Рассмотрим первый множитель (25n^2 + 70n + 49). Разделим каждое слагаемое на 4:

25n^2 + 70n + 49 = (24n^2 + n^2) + (68n + 2n) + 49 = 4(6n^2 + 17n) + 49

Таким образом, первый множитель является суммой, первое слагаемое которой кратно 4, а второе слагаемое не является кратным 4. Значит, первый множитель делится на 4.

2. Рассмотрим второй множитель (9n^2 + 60n + 100). Разделим каждое слагаемое на 4:

9n^2 + 60n + 100 = (8n^2 + n^2) + (56n + 4n) + 100 = 4(2n^2 + 14n) + 100

Аналогично первому множителю, второй множитель является суммой, первое слагаемое которой кратно 4, а второе слагаемое не является кратным 4. Значит, второй множитель делится на 4.

Таким образом, оба множителя (25n^2 + 70n + 49) и (9n^2 + 60n + 100) делятся на 4. Следовательно, их произведение (5n + 7)^2 • (3n + 10)^2 также будет делиться на 4 при любом натуральном числе n.