Question

Докажите, сто если медиана треугольника совпадает с его высотой,то треугольник равнобедренный

Answer 1

Пусть АСВ - треугольник, СК - медиана и высота одновременно. Докажем
, что тогда он равнобедренный.
Треугольники АСК и ВСК равны за двумя сторонами и углом между ними, так как СК=СК (общая сторона), угол АКС=угол ВКС =90 градусов (так как СК высота) , АК=ВК (так как СК - медиана),
из равенства треугольников АСК и ВСК следует равенство АС=ВС
По определению равнобедренного треугольника это означает, что АСВ - рабнобедренный треугольник. Доказано

Answer 2

Для того чтобы доказать данное утверждение, давайте рассмотрим треугольник ABC, где M обозначает медиану, а H обозначает высоту, и предположим, что медиана M совпадает с высотой H.

Поскольку медиана делит сторону треугольника на две равные части, пусть AM = MC. Кроме того, так как высота проходит через вершину треугольника и перпендикулярна основанию, пусть AH = HC.

Теперь рассмотрим треугольник AMH. У него две равные стороны: AM = MC и AH = HC.

Так как AM = MC, треугольник AMH является равнобедренным, и угол AMH равен углу HMC (по свойству равнобедренного треугольника).

Далее, так как AH = HC, угол AMH равен углу AMH (по свойству равнобедренного треугольника).

Из этих двух фактов следует, что угол HMC равен углу AMH.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Угол HMC равен углу AMH (как мы только что доказали), и угол C равен углу C (так как это один и тот же угол).

Из этого следует, что угол B равен углу B (так как сумма углов треугольника равна 180 градусам).

Поскольку у треугольника есть два равных угла (угол B и угол B), треугольник ABC является равнобедренным.

Таким образом, если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник является равнобедренным.